振动的表达式

描述结构运动的方程称为运动方程，它是时间的函数。根据经典力学，结构的运动方程可以由牛顿第二运动定律推导出来，它是时间的二阶微分方程；方程中，用结构的位移、速度以及加速度来描述结构的运动。

有很多推导运动方程的方法，但这些方法都是基于经典力学中的牛顿运动定律，所以得到的方程最终都是相同的。这些方法包括：

牛顿的运动方程

达朗贝尔原理

虚功原理

哈密尔顿定律

拉格朗日方程

能量法以及瑞利法

振动问题对应仿真分析(结构动力学分析问题）

当激振频率与结构的固有频率接近时，结构会发生共振，此时结构的振动幅度会很大。-因此要进行模态分析

通过模态分析，我们可以：

确定结构的固有频率、振型等动力学特性，避免结构发生共振或者利用共振。

模态分析是动力学分析的基础，频率响应、瞬态响应以及随机响应等采用模态叠加法时，都必须要进行模态分析，反应谱分析也需要模态分析。

自然周期

自然频率

自然角频率

频率（frequency）：

是单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量

周期(cycle)

是物体完成一个振动过程所需要的时间,频率与周期互为倒数

振型

是指弹性体或弹性系统自身固有的振动形式，通过模态振型判断自然频率对设计影响的大小。如果振型方向与荷载作用方向相反，那么该自然频率的影响较小；如果荷载的作用方向始终是垂直的，那么非垂直方向的振型方向对应的自然频率的影响也较小。模态振型只在变形形状方面有意义，位移的大小不重要

模态振型是具有周期性振动的动态形状,需要检查整个周期的振型

模态振型的物理意义是:当外载激励频率等于对应的固有频率时,可能激发出该振型显示的振动形状

多自由度系统无阻尼自由振动

将所得到的各个自然频率按从小到大依次排列，称之为“阶”，也就是我们常说的

一阶模态，二阶模态。其中第一阶模态称之为基频。

在模态分析的过程中，由于无法得到每阶振型的具体数值，只能得到各阶模态振型的相对值，需要将各阶模态进行归一化处理：

在模态结果常得到振型结果（位移），振型结果只关心变形的趋势，不关心具体数值的大小，另外应力、应变结果也是无实际作用的。

建议：由于结构的振动特性决定结构对于各种动力载荷的响应情况，所以在准备进行其它动力分析之前首先要进行模态分析。

有效质量

查看各阶模态在各个方向的参与的量，以及所有模态在各个方向参与量的总和；参与量以质量表示。

是指在某一向量激励下，某一模态参与的系统质量。该质量是“假质量”，是我们认为的某一模态参与响应的对应质量；但同时该质量也是“真质量”，在某一向量激励下，所有模态的有效质量之和等于该物体对应此激励的响应质量

其中，γ称为参与因子

有效质量或参与因子衡量每阶模态在各个方向上振动的质量大小，也就是在振动的线性组合过程中的贡献大小。

理想情况下，每个方向的有效质量之和等于结构的总质量，但由于无法（也不会）提取所有模态，因此会有一定误差。

有效质量与总质量之比，即有效质量百分比，确定了提取的模态数量是否足够表征实际振动行为

广义质量

是指物体在运动中对于外力的响应能力。它包括质量和惯性矩阵两部分。质量矩阵描述了物体的质量分布情况，惯性矩阵描述了物体在不同方向上的旋转惯量。广义质量的概念可以应用于多自由度系统，描述了物体在不同坐标方向上的动力学特性。

广义刚度

是指物体在变形中对于外力的阻力能力。它包括刚度和柔度矩阵两部分。刚度矩阵描述了物体对于外力的阻力，柔度矩阵描述了物体的变形情况。广义刚度的概念同样可以应用于多自由度系统，描述了物体在不同坐标方向上的力学特性。

正交损失 ORTHOGONALITY L0SS

误差估计ERROR MEASURE

振幅

振幅又称幅值,是指物体动态运动或振动的幅度。振幅是振动强度和能量水平的标志，是评价机器运转状态优劣的主要指标。

振幅之所以要分别用位移、速度、加速度表示，是因为振动位移、振动速度、振动加速度能分别清晰地反映不同频率范围内的振动强度。

相位

是指相同频率的振动之间的时间关系，在给定时刻振动体测量点相对于固定参考点的位置，相位是时间的函数

对于频率依存载荷

简谐载荷的幅值=简谐载荷的基础值×载荷的频率依存性

简谐载荷的相位由其频率依存性决定，相位仅对于多个载荷时才有意义

模态有效质量百分比

查看各阶模态在各个方向的参与度，以及所有模态在各个方向参与度的总和。

参与度以质量百分比表示。

如果使用模态叠加法进行动力分析，需要指定模态的数量，使得有效质量百分比总和达到 90% 以上。

MeshFree提供离散、线性、对数、集中等 4 种频率集的定义方式，也可以组合使用

离散

-自定义任何关心的频率。

-以输入的频率输出结果。

-当你通过模态分析了解结构的固有频率时，它非常有用。

线性

-在目标频率范围内线性增加

-固有频率可能被忽略

-结合其他定义方法考虑固有频率点。

对数方法

-在目标频率范围内，频率取对数后按照一定的间隔增加

-固有频率点可能被忽略

-适用于整个工作频率范围很宽，在起始频率附近密集，随后比较稀疏的情况

集中方法

仅适用于模态法频率响应

先确定固有频率作为目标频率点然后在固有频率之间，用对数或者线性方法定义频率

集中因子定义固有频率之间频率点的疏密；集中因子为1时等间距；集中因子大于1时，首尾比较密；集中因子小于1时，中间部位比较密

实际应用

来源：midas机械事业部

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