摘要：高速入水过程中空泡的演变会影响冲击载荷和物体的运动。本文采用欧拉有限元多相流方法对高速入水过程进行了数值模拟。通过与实验数据及瞬态空泡动力学理论结果的对比，验证了该数值方法的准确性和收敛性。基于模拟结果，从空泡截面的角度讨论了空泡的代表性特征。研究发现，空泡膨胀和收缩持续时间的不对称性与自由液面的运动及空泡的闭合相关。自由液面的抬升抑制了空泡的膨胀，而自由液面闭合时产生的射流加速了空泡的收缩。由于自由液面运动引起的速度分布变化，空泡在靠近自由液面处的收缩持续时间比膨胀持续时间短。深层闭合期间的颈缩现象导致空泡内部压力升高，从而延长了空泡在深层闭合区域的收缩时间。此研究为高速入水过程中空泡动力学提供了新的见解。

1.引言

入水问题存在于许多工程领域，如车辆入水、飞机空投、水上飞机和航天器的水面着陆以及船舶的波浪冲击等。高速入水是一个瞬态且强非线性的过程，涉及穿越空气和水的界面，并常伴随复杂的流动现象，例如剧烈的水面飞溅和空泡演变的多种特性；这些流动与进入水中的物体所受到的强大冲击载荷和剧烈运动密切相关。全面理解入水过程中空泡的流动机制是一个重要的研究方向。空泡的演变包括空泡的形成、增长和坍塌，这些现象引起了广泛关注。许多研究讨论了各种参数对空泡演变的影响，包括初始速度、入水角度和物体的几何形状等。

在关于球体垂直入水的实验中，诸如自由液面飞溅、空泡的形成和坍塌等物理现象首次通过摄影技术被捕捉并分析。随后，考虑了空气密度、冲击速度、附加质量系数和临界速度等多个因素，逐步发展了空泡演变的基本规律，并获得了理想的空泡模型。直到20世纪60年代，基于势流理论提出了经典的空泡截面独立膨胀模型，从理论上描述了空泡截面膨胀的基本物理过程。之后，基于能量守恒定理，建立了球体高速入水过程中的空泡动力学解析模型。后来，又提出了一个低弗劳德数的瞬态圆柱形空泡动态模型，该模型准确预测了实验中观察到的两种不同的深层闭合类型。随后，许多研究者将瞬态空泡动力学模型的应用扩展到了更大范围的弗劳德数。Bergmann等人通过在理论模型中引入控制空泡动力学时序的不同参数值，研究了径向膨胀和收缩阶段的不对称性，发现理论与深层闭合深度处空泡截面的径向动力学有更好的一致性。然而，这些研究并未讨论自由液面的运动以及空泡闭合区域内外的流动细节。在理论建模中，通常忽略了空泡内部的气体流动，并假设自由液面周围的流体完全沿径向流动。虽然在低速入水时这些假设的影响可能可以忽略不计，但在高速入水时，由于瞬态和复杂流动现象的存在，估计这些假设的影响变得具有挑战性。

在球体入水过程中，揭示了四种不同类型的空泡封闭及其相关的无量纲变量参数。通过粒子图像测速技术观察到，当圆盘以低速入水时，由空泡深层闭合引起的气流射流甚至可以达到超音速。与不可压假设的结果相比，空气可压缩性对空泡动力学的影响至关重要。此外，由深层闭合引起的气流会抑制向下射流，而向上的射流会进一步转变为不规则且不对称的射流。研究人员还使用了不同的数值方法，研究了在物体形状和运动参数影响下的空泡演变，并探索了空泡流动的特性及空泡与物体之间的耦合效应。根据有限体积法的研究，高速入水时的射流坍塌会影响弹体的运动。一种改进的多相流-结构耦合方法被提出，用于模拟高速入水，并首次详细研究了不同头部形状的物体在高速入水时尾部冲击的形成机制。

总体来说，对于低速入水（例如低于20 m/s），主要关注的是自由液面的飞溅、空泡的闭合等现象。在这种情况下，物体表面的亲水性和疏水性、流体的粘度和表面张力以及重力等影响因素是重要的。然而，当入水速度增加（例如超过100 m/s）时，需要考虑额外的现象，包括空泡的脉动、空泡的膨胀与收缩以及空泡与物体之间的相互作用等。在这种情况下，亲水性和疏水性、粘度、表面张力和重力不再是空泡演变的主要因素。相反，惯性力成为关键因素，同时流体的可压缩性变得更加显著。这种类型的入水可称为高速入水。

尽管研究人员广泛研究了高速入水空泡的径向演变，但对空泡膨胀和收缩持续时间的不对称性及其影响因素的关注较少。入水空泡还会受到多种边界的影响，如自由液面和固体壁面等。先前的研究，例如Treichler & Kiger (2020) 和 Zhang et al. (2021)，已经认识到自由液面对空泡的影响。Treichler & Kiger (2020) 简单指出了自由液面附近的轴向流动作为三维效应会影响空泡行为，但并未进行深入研究。此外，当弹体通过冰孔撞击水面时，冰孔边界抑制了飞溅和射流，从而改变了空泡的闭合形式。观察到在低速倾斜入水过程中，自由液面的飞溅会影响空泡的演变。然而，在高速入水的背景下，由于冲击载荷更大且空泡的膨胀和收缩更加剧烈，仍然需要深入研究以揭示自由液面作为一种天然物理边界条件如何影响空泡动力学的复杂机制。

在本研究中，采用欧拉有限元方法研究了高速垂直入水过程中空泡的演变。通过数值结果与瞬态空泡动力学理论预测结果的对比，验证了自由液面的影响。本研究揭示了高速入水过程中空泡膨胀和收缩持续时间的不对称性。结合流场的速度分布和空泡内部压力，详细讨论了自由液面运动和空泡闭合对膨胀和收缩的影响。论文的其余部分结构如下：第2节介绍了数值模型，并验证了计算的准确性和收敛性。第3节通过应用之前的分类方法区分了两类空泡，并从空泡截面的角度进行了讨论。在此基础上，重点分析了自由液面运动对高速入水过程中空泡膨胀和收缩的影响，并解释了膨胀和收缩持续时间不对称性的起因。最后，第4节给出了结论。

2.数值模型

2.1. 控制方程和多相欧拉有限元方法

在高速入水过程中，弗劳德数通常非常高，惯性力是关键因素。因此，忽略热传导、粘性和表面张力的影响是合理的。欧拉有限元方法 (EFEM) 是一种用于入水问题的高效且精确的计算流体动力学模拟方法。EFEM 在处理界面的任意大变形方面具有独特优势，适用于解决高速入水时的多相流问题。无粘流体的欧拉控制方程如下：

其中，e是内能，ρ是流体密度，v是流体速度，p是流体压力，g是重力加速度，f是由于流体与物体相互作用产生的体力。

上述欧拉控制方程可以写成一般的守恒形式：

其中，Φ是流体守恒变量，S是源项。根据矢量恒等式，方程(2.4)可以写成：

其中下标i表示坐标系(xyz)中三个轴向的分量。

本文使用流体体积法 (VOF) 来解决入水过程中的多相流问题。VOF的对流方程 (Hirt & Nichols 1981) 如下：

其中，下标j代表流体相的编号，α是流体相j的体积分数，满足0≤αj≤1，且在任意一个流体单元中∑αj=1。对于混合流体单元，可以将流体视为不同相的均匀混合物。将方程(2.7)添加到(2.4)中，可以得到多相流的欧拉控制方程。方程(2.4)中的守恒变量Φ和源项S表现为以下形式：

由于上述方程尚未封闭，因此需要使用状态方程(EOS)进行求解。在本研究中，假设空气为理想气体，使用γ-定律状态方程 (Fedkiw et al. 1999) 来计算气体状态：

其中下标 g 表示气相，γg 为比热比。在本研究中，空气的初始参考密度为 ρg=1.29 kg/m3，且 γg=1.4。水的状态方程 (Saurel et al. 2007) 表达为：

其中下标 l 代表液相，γl和pw来自冲击Hugoniot实验。对于本研究中的水，初始参考密度为ρl=1000.0 kg/m3，γl=7.15，且pw=3.3089×108Pa。

通过使用算子分裂技术从欧拉方程中分离对流项，是EFEM求解的关键步骤 (Benson 1992)。通过这种求解方法，方程(2.5)可以被分解为以下两个方程：

因此，需要两个步骤来求解上述方程。在第一步中，将 (2.11) 中的符号 ∂/∂t替换为 D/Dt，使其成为标准的拉格朗日控制方程。由于 (2.11) 中不存在对流项，因此可以使用传统的显式有限元法来求解，即将流体材料固定在单元节点上，并随流体运动变形。在第二步中，将变形后的单元节点移回到其原始位置。通过计算相邻单元之间的流体体积来求解 (2.12)，并通过传输方程更新相关变量。在对流项求解后，通过状态方程更新流体压力。EFEM的详细求解过程已在之前的研究中有所描述 (Benson 1992; Liu et al. 2019, 2023)，因此本文不再赘述。

2.2. 改进的浸入边界方法与刚体的运动方程

在数值模拟中，采用Penalty Immersed Boundary (IB)方法实现物体的拉格朗日固体网格与流体的欧拉网格之间的耦合。IB方法确保了物体与流体在耦合界面上的一致运动。通过计算耦合力来实现总动量的守恒。本文采用的改进IB方法的基本原理如图1所示 (Liu et al. 2023)。通过沿物体边界的外法线方向分别在流体和物体上施加力F和反作用力-F，实现了界面的耦合。此外，还保证了动量守恒和界面的一致性。

图1. 本文采用的IB方法示意图

拉格朗日节点表示物体边界节点，虚拟流体点表示与物体边界节点对应的虚拟流体节点；n是物体边界的外法向单位向量，vs是物体边界速度，vf是虚拟流体节点速度，F是耦合力。当施加耦合力后，时间t时的流体边界将移动到时间t+Δt时与物体边界相同的位置，同时一个大小相等方向相反的力-F将作用于物体上。

在入水过程中，物体以速度vs撞击水面，而流体的初始速度为零。为了确保界面的一致性并消除流体与物体边界之间的速度差，可以在耦合单元中施加耦合力F，其表达式为：

其中，n是物体边界的外法向量，mˉ是通过插值法得到的时间t时物体边界上虚拟流体点的质量，计算公式为：

其中，δ是仅依赖于距离因素的分布函数，m是耦合单元中网格节点的流体质量。这里，xf表示耦合单元中流体网格节点的位置，xs表示物体边界节点的位置。方程(2.14)包含了耦合单元中周围流体网格节点的质量总和。因此，可以将耦合力F分配到耦合单元中的每个节点上，对流体节点的耦合力f表达为：

改进的IB方法能够解决高速入水过程中大密度比的多相流问题，并具有良好的计算适应性。关于改进IB方法的更多细节，请参阅已有的文献 (Liu et al. 2023)。

图2. 高速弹体入水计算模型示意图

弹体的初始入水速度为v0。计算流体域的尺寸（包括水和空气）为L×W×H，水域深度为 dw。局部坐标系(xb,yb,zb)固定在弹体的重心G处，全局坐标系(x,y,z)则在弹体旋转轴与自由液面交点处建立。平头弹体的直径为D，弹体长度为Lcyl。

建立了一个高速入水弹体的数值模型，如图2所示。初始入水速度为v0。计算域的尺寸为 L×W×H，水域的深度为dw。根据实际情况，计算域的边界可以设置为刚性壁面条件或无反射边界条件。此外，图2中定义了局部坐标系和全局坐标系。刚体的六自由度运动方程用于求解弹体的运动，包括平移和旋转方程 (Fossen 1994)，具体如下：

其中，上标b表示局部坐标系中的变量，M是刚体的总质量，VGb和ωb分别是刚体重心在局部坐标系中的平移速度和旋转速度，JG是相对于刚体重心的惯性矩阵。此外，Fb0和Tb0分别是作用在刚体上的合力和合力矩，这些力和力矩在全局坐标系中求解后，通过旋转矩阵R转换到局部坐标系中：

基于上述的IB方法和刚体运动方程，本文可以数值求解高速入水过程中弹体的轨迹和姿态。

2.3. 验证与比较

关于旋转体入水时空泡的演变，先前研究提出了瞬态空泡模型，并将空泡的演变过程简化为典型的Besant–Rayleigh问题。根据势流理论和空泡截面独立膨胀

的假设，给出了空泡半径的表达式。该模型广泛应用于旋转体（如球体、圆柱体等）入水空泡的理论分析中。本文引用了之前研究中的圆柱形弹体入水空泡公式：

方程(2.20)描述了在水面以下某一深度z处的空泡径向演变。弹体到达水深z的时间定义为tz，其中Rc为空泡半径，R0为弹体半径，uz为弹体头部到达水下深度z时的速度，ΔP为水下深度z处平面上的环境压力P∞与空泡内部压力Pcavity之间的压差，N是表示空泡演变扰动范围的无量纲几何参数，κ为表示初始空泡壁速度与弹体速度之间关系的系数，小于1。

图3. 实验装置示意图

水箱由透明的丙烯酸材料制成，便于用高速摄像机拍摄。气枪安装在水箱中心上方，垂直于水面。一组灯光设置在水箱后方。

为了验证数值模型的准确性，并将理论与数值方法进行比较，进行了一项实验以观察高速弹体入水的过程。图3展示了本研究中使用的实验装置。弹体通过气枪发射进入水箱，并在发射管出口处设置测速仪以测量弹体的速度。使用一台高速摄像机（每秒13,000帧）拍摄弹体入水时的空泡演变。实验的具体细节如下：直径为8毫米、长度为40毫米的平头弹体以初速度v0=71.5 m/s垂直入水。实验中的弗劳德数为Fr=255.4。弹体材质为铝合金，总质量为5.5克，重心位于距离弹体头部20毫米处。实验使用的水箱尺寸为L×W×H=0.8 m×0.8 m×0.6 m，水深为0.5米，与图2所示的计算域一致。计算域的上边界设置为无反射边界条件。边界上的总压力等于大气压与动压之和。其他边界设置为刚性壁面边界条件。计算流场精细化区域的网格尺寸选择为 D/Δx=12,20,28和36，以验证数值模型的收敛性。如图4(a)所示，随着网格尺寸的减小，弹体的数值穿透深度结果逐渐收敛到实验数据，当 D/Δx=36时，数值结果与实验数据吻合良好。这表明该数值模型具有良好的收敛性和准确性。此外，对比了水面以下40毫米和120毫米处的空泡直径演变，如图4(b)和4(c)所示。图中还绘制了基于瞬态空泡理论的结果，系数κ和N分别为0.57和1.67。尽管数值和理论结果整体上与实验数据吻合良好，但在空泡演变后期，数值与理论结果之间存在一定差异。这一偏差将在本文中进一步研究，并将在后续部分中详细讨论。

图4. 实验结果与数值结果的对比

(a) 弹体垂直穿透深度的时间历史；(b, c) 截面上空泡直径的演变，水下深度分别为40毫米和120毫米。

图5. 不同时刻下实验结果（黑白）与数值模拟结果（彩色）的空泡形状对比

图5展示了实验与数值结果的空泡演变。总体而言，数值结果与实验结果非常一致。然而，在微小的断裂气泡形状上存在一些细微差异，这可能是由于界面追踪算法在该小区域内的表现所致，这需要更精细的网格来进行准确模拟。然而，这种精细化的计算成本过高。尽管如此，这些微小的断裂气泡不会影响空泡的整体演变。综上所述，上述比较证明了本文所建立的高速入水数值模型具有较高的准确性和收敛性。

3. 结果与讨论

3.1. 高速入水过程中空泡演变的代表性特征

高速入水过程中空泡演变的代表性特征大致可以分为两类：I型和II型。I型指的是在表面闭合后连续坍塌的空泡，而II型指的是经历深层闭合的空泡。本研究中的两类空泡的演变过程与文献中的研究结果一致。图6(a)展示了一个I型空泡的示例，其初始入水速度为v0=100 m/s（弗劳德数Fr=357.1）。无量纲时间定义为t∗=t⋅(D/v0)-1。图6(b)展示了一个II型空泡的示例，其初始入水速度为v0=200 m/s（弗劳德数Fr=714.3）。II型空泡在早期演变（t∗=25.0∼100.0）时与I型空泡相似。

图6. 高速入水过程中空泡演变的代表性特征

(a)初始撞击速度v0=100 m/s（弗劳德数Fr=357.1）。(b)初始撞击速度v0=200 m/s（弗劳德数Fr=714.3）。其中，z为自由液面下的测量深度，D为弹体直径。

然而，对于II型空泡，尾部射流撞击空泡壁，导致环状尾部断裂，随后发生深层闭合，导致空泡从闭合区域向上和向下迅速坍塌。当t∗=237.5时，深层闭合引起的水射流也撞击到弹体，但相比I型空泡中的射流冲击，冲击力较小，如图7所示。与之前的研究相比，后续研究将重点关注空泡膨胀和收缩持续时间的不对称性，并表明这与自由液面运动和空泡闭合有关。

图7. 不同入水速度下弹体轴向力系数的时间历史

轴向力系数定义为Cdx=8Fxb/ρv02πD2 ，其中Fxb为作用在局部坐标系xb轴上的力（参见图2中的坐标系定义），v0为初始入水速度，方向与入水速度相反的轴向力为负值，ρ为水的密度，D为弹体直径。小图展示了弹体在入水初期撞击静水面的向上轴向力，大图展示了射流撞击弹体并将其向下推的结果。

图8. 在水深为z=-20的横截面上空泡演变阶段的划分

其中，te为截面空泡膨胀阶段的时间，tc为截面空泡收缩阶段的时间。入水速度为v0=100 m/s（弗劳德数Fr=357.1）。

在横截面上（测量深度为z=-20D）对空泡演变阶段进行划分，如图8所示，并在图9中给出了在多个特征时刻下空泡截面及周围水域的空泡形状和绝对压力分布。无量纲压力定义为 P∗=P/P∞，其中P∞某一测量深度的环境压力，定义为P∞=P0+ρgz为水面以上的大气压。空泡直径定义为Dc。在t∗=30.0的时刻（图8(a)），弹体头部到达z=-20D截面处。此时刻下空泡形状及截面和周围水域的压力分布如图9(a)所示。弹体损失的动能转化为各方向上的液体运动能量，导致该截面的水向外运动并引起空泡壁膨胀。随着弹体的持续运动和入水空泡的进一步演变，供给空泡径向膨胀的能量逐渐减少，空泡膨胀逐渐减慢。截面的空泡直径在t∗=55.0时达到最大值，如图8(b)所示。同时，空泡内部及空泡壁周围的压力显著低于截面的环境压力P∞，如图9(b)所示。随后，该截面的空泡壁进入收缩阶段，收缩速度急剧增加。当 t∗=77.5时（图8(c)），该截面的空泡基本完全坍塌。在空泡的后部区域出现了明显的高压区，其峰值不低于空泡截面初始发展时的压力值，如图9(c)所示。上述过程基本符合瞬态空泡理论模型中空泡截面独立膨胀的假设。此外，数值结果与理论预测结果吻合良好。

在后续讨论中，空泡从形成到坍塌的周期tp被划分为膨胀时间te和收缩时间tc，即tp=te+tc。

图9. 在测量深度z=-20D处空泡截面及其周围水域的空泡形状和绝对压力分布（对应图8中的多个特征时刻）。

入水速度为v0=100 m/s（弗劳德数Fr=357.1），截面上的黑线表示空泡壁。

图10. 在不同测量深度下多个空泡截面的空泡直径演变（入水速度v0=100 m/s，弗劳德数Fr=357.1）。

图10展示了不同测量深度下的截面空泡直径演变（v0=100 m/s，弗劳德数Fr=357.1）。随着测量深度的增加，空泡的最大直径先增加后减少。在浅层测量水深处，空泡截面的膨胀时间长于收缩时间。例如，在测量深度z=-5处，膨胀时间为te=1.8 ms，收缩时间为tc=1.2 ms。然而，当截面远离自由液面时，膨胀时间大致等于收缩时间。例如，在测量深度z=-20D处，膨胀时间为te=2.0 ms，收缩时间为tc=2.0 ms。当测量深度超过z=-40D时，空泡截面的演变受到空泡尾部快速坍塌的显著影响，即连续坍塌。因此，空泡截面的形状变得不规则，并在膨胀开始后不久直径急剧下降。

图11. 在不同测量深度下的空泡演变及绝对压力场

（入水速度v0=100 m/s，弗劳德数Fr=357.1）。实线表示空泡壁。(a) 测量深度z=-5D；(b) 测量深度z=-40D。

选取靠近自由液面和远离自由液面的空泡流场进行分析。图11(a)详细展示了z=-5D处的空泡演变和压力分布。当t∗=6.25时，弹体头部到达该截面，并在头部周围形成了一个高压区，将水推开。在该截面空泡膨胀过程中，空泡内部和空泡壁周围的压力持续降低，显著低于环境压力P∞。空泡壁将在t∗=33.75时达到最大直径。随后，在内外压力差和惯性的作用下，空泡壁开始收缩。此外，自由液面闭合产生的向下射流在收缩过程中不断增大其直径。

图11(b)展示了z=-40D处的空泡演变和压力场。当t∗=91.25时，由于弹体速度的衰减，相比于z=-5D处，弹体头部周围的高压区域明显减弱。收缩过程受到快速坍塌和闭合射流飞溅的显著扰动。空泡壁会先向内收缩并坍塌成气泡流。同时，空泡坍塌还会导致高压区域的形成。此外，由于坍塌过程中压缩产生的气体高压，发生了反弹现象。

图12. 在不同测量深度下多个空泡截面的空泡直径演变（入水速度v0=200 m/s，弗劳德数Fr=714.3）

图12展示了不同测量深度下空泡直径与时间的关系（v0=200 m/s，弗劳德数Fr=714.3）。与v0=100 m/s（弗劳德数Fr=357.1）的情况相似（见图10），随着测量深度的增加，空泡截面的最大直径先增加后减少。然而，在更高的弗劳德数情况下，这一效应更加显著。对于小测量深度的截面，空泡直径演变的膨胀持续时间明显短于收缩持续时间。随着测量深度的增加，空泡的膨胀和收缩持续时间逐渐趋于相等。然而，当测量深度进一步增加时，收缩过程显著延长，超过了膨胀过程的持续时间。Guo等人(2020)的实验研究也报告了这些趋势。此外，接近深层闭合区域的截面处的空泡坍塌时间趋于一致，如图12所示。

图13. 测量深度z=-5D处的空泡演变及绝对压力场

（入水速度v0=200 m/s，弗劳德数Fr=714.3）

图13展示了深度为z=-5D处，初速度为v0=200 m/s（弗劳德数Fr=714.3）的空泡演变过程。当弹体头部到达该截面时，空泡迅速发展并膨胀，直到t∗=100.0。随后，截面的空泡逐渐收缩并坍塌，同时在空泡尾部形成向下的射流。与v0=100 m/s（弗劳德数Fr=357.1）的情况相比，由于初速度更高，在弹体到达该截面时的最大压力明显增加。

图14. 在不同测量深度下的空泡演变及绝对压力场

（入水速度v0=200 m/s，弗劳德数Fr=714.3）。实线表示空泡壁。(a) 深度为z=-30D；(b) 深度为z=-40D。

图14展示了深度为z=-30D处，初速度为v0=200 m/s（弗劳德数Fr=714.3）的空泡演变情况。在t∗=115.0∼180.0期间，远离自由液面的空泡截面在深度为z=-(30∼40)D时表现出同步的收缩趋势。空泡出现了颈缩现象，在环境压力P∞的作用下，颈缩最终发展为深层闭合，如图14所示。深层闭合的深度大约为z≈-(34.5∼39)D。图14显示的空泡快速闭合产生了更大的高压区域。由于z=-40D处的截面更接近深层闭合深度，因此闭合发生的时间早于z=-30D处的深度。深层闭合之后，断裂的空泡向上和向下坍塌。

以上讨论集中在高速入水过程中空泡的典型特征。靠近自由液面和深层闭合区域的截面空泡演变表现出不同的特性。已经确定了自由液面运动和空泡闭合对空泡膨胀和收缩持续时间的影响。

3.2. 自由液面对空泡演变的影响

考虑空泡截面的独立膨胀，瞬态空泡动力学理论在假设空泡壁的演变与弹体速度和静水压力相关的情况下，预测了空泡直径的径向演变。相比之下，数值模拟可以在考虑自由液面运动和空泡内部流动的情况下，描述空泡形成、膨胀、收缩和坍塌的整个演变过程。图15比较了瞬态空泡动力学理论和数值模拟在不同测量深度下弗劳德数为Fr=357.1和Fr=714.3时的空泡截面直径。

图15. 不同深度下空泡直径演变的理论预测与数值模拟的对比

(a) v0=100 m/s，弗劳德数Fr=357.1；(b) v0=200 m/s，弗劳德数Fr=714.3。

基于瞬态空泡动力学理论计算的空泡演变曲线在膨胀和收缩阶段之间表现出明显的对称性。随着测量深度的增加，每个测量深度的截面空泡的最大直径逐渐减小。当弗劳德数增加时，截面空泡的演变表现出更大的直径和更长的膨胀与收缩持续时间。然而，考虑到自由液面运动后，数值结果显示出不同的现象。靠近自由液面的测量深度处，空泡的膨胀和收缩阶段表现出不对称性，但随着测量深度的增加，这些阶段趋于对称，与理论结果相似。与理论结果相比，靠近自由液面的截面空泡的膨胀和收缩阶段持续时间明显缩短。这一现象在Treichler & Kiger (2020) 的先前实验研究中也有报道。此外，根据数值结果，截面空泡的最大直径随测量深度的增加先增大后减小。这种行为在两种弗劳德数情况下均可观察到。此外，对于Fr=357.1的情况，理论结果无法预测连续坍塌引起的空泡直径突然减少的现象。而当Fr=714.3时，由深层闭合引起的不同测量深度下的空泡完全坍塌时间趋于一致，这一点在理论结果中也可以预测。然而，理论结果并未预测到空泡收缩时间延长的特征。

上述分析表明，在瞬态空泡动力学理论中，自由液面和深层闭合的影响未得到充分考虑。为了进一步研究高速入水中的空泡演变规律，本文计算了v0=150 m/s、v0=250 m/s和v0=300 m/s的三种情况。表1介绍了不同弗劳德数对应的弗劳德数值和入水空泡的类别。

表1. 五种情况下的计算条件和结果汇总

图16. 数值结果与瞬态空泡动力学理论结果中最大空泡直径的对比

(a) 不同测量深度下截面的最大空泡直径。(b) 理论结果与数值结果中最大空泡直径的比值，其中Dcmax-T和Dcmax-N分别代表理论和数值结果中的最大直径，比值接近1表示自由液面的影响较小。

进一步考察自由液面对空泡演变的影响，特别是在不同测量深度截面的最大空泡直径和空泡演变周期方面。图16(a)和16(b)分别展示了理论和数值计算得到的最大空泡直径及其比值。在相同的弗劳德数下，理论预测的最大空泡直径随着测量深度的增加单调递减。相比之下，数值结果则表现出一种非单调趋势，随着测量深度的增加，先增大后减小（见图16(a)）。值得注意的是，在较小的测量深度处，数值结果低于理论预测，且弗劳德数越大，这种差异越明显。这些偏差可以归因于自由液面的影响。随着测量深度的增加，数值结果与理论结果的一致性有所改善。在本研究中，没有考虑测量深度超过|z/D|大于45的情况，因为在这些深度，空泡迅速坍塌并形成水射流。

此外，随着弗劳德数的增加，自由液面的影响逐渐增强，在相同截面上会导致更大的最大空泡直径。然而，如图16(b)所示，随着测量深度的增加，自由液面的影响逐渐减弱。不同弗劳德数下，理论和数值结果显示了相似的趋势，但在较小的测量深度处，两者之间的差异更加显著。这是因为理论预测中未考虑自由液面的影响，只考虑了弹体速度和静水压力。这些结果表明，自由液面对空泡演变有显著的影响。

图17. 空泡演变周期的数值结果与理论结果的对比

紫色虚线以上的测量深度表示自由液面影响较大，而虚线以下的测量深度表示自由液面影响较小。

图17展示了根据理论和数值结果计算出的不同测量深度处空泡截面的演变周期。理论结果显示，随着测量深度的增加，演变周期逐渐减少。然而，数值计算的周期则随着测量深度的增加先增加后减少，表现出非单调的趋势。在相同的弗劳德数下，数值结果在靠近自由液面时的周期比理论结果更短，突显了自由液面对空泡演变的影响。随着弗劳德数的增加和测量深度的减小，这种偏差更加明显。然而，在更大的测量深度处，两种方法计算出的周期趋于一致。

图18. 靠近自由液面处流场演变的流动细节

左侧为速度矢量图，右侧为压力场，黑线表示空泡壁。(a)弗劳德数Fr=357.1 (b)弗劳德数Fr=714.3。

为了进一步研究自由液面对横截面空泡演变的影响，图18展示了靠近自由液面处流场中的速度分布和压力场。当弹体撞击水面并进入水中时，自由液面上升，形成一个水丘。由于重力作用以及空泡内外压力差的影响，自由液面闭合，在空泡顶部形成薄膜。同时，薄膜内的水相互碰撞，产生高压区域并形成垂直方向的水射流。在初始阶段，水膜较薄，在高弗劳德数下可能会破裂，使空气重新进入空泡（见图18(b)，t=2.6 ms）。随着空泡顶部周围的水向内折叠并流入射流，向下的射流直径增加，从而影响空泡的演变。

图19. 高速入水过程中瞬态空泡动力学理论

(a) 与数值模拟 (b) 之间流动差异的示意图

图19展示了通过理论和数值计算获得的流场对比示意图。理论方法假设每个空泡截面的膨胀是独立且径向的，并忽略了自由液面的运动，而数值模拟提供了实际流动动力学的更详细视角。自由液面的上升吸收了一部分能量，从而抑制了靠近自由液面的空泡截面的膨胀阶段。因此，这些截面中的最大空泡直径减小，膨胀持续时间缩短。此外，自由液面闭合产生的高速向下水射流加速了空泡坍塌，从而缩短了整体周期。与自由液面运动相关的这些效应解释了图16和17中观察到的差异。随着测量深度的增加，空泡截面的演变逐渐脱离自由液面的影响，趋近于独立的径向膨胀。因此，数值结果逐渐与理论预测一致。这些分析能够更准确地解释Treichler & Kiger (2020) 所提到的靠近自由液面处的三维运动效应，该效应会影响空泡的行为。

3.3. 空泡截面演变周期的不对称性

如在第3.1节中所述，由于自由液面和深层闭合的影响，空泡的膨胀和收缩持续时间存在不对称性。为了进一步研究这种不对称性，定义了收缩持续时间与膨胀持续时间的比值作为对称系数s=tc/te。根据瞬态空泡动力学理论的结果，对称系数始终等于1。然而，在数值结果中，通常不等于1。图20展示了空泡膨胀和收缩持续时间随测量深度的变化情况。相应地，图21展示了对称系数。

图20. 不同测量深度下空泡截面膨胀 (a) 和收缩 (b) 的持续时间

其中，te∗和tc∗分别表示空泡膨胀和收缩的无量纲持续时间。

如图20所示，在不同的弗劳德数下，膨胀和收缩持续时间显示出相似的趋势，随着测量深度的增加先增加后减少。对于相同的截面，随着弗劳德数的增加，膨胀和收缩的持续时间均增加。关于膨胀和收缩的不对称性，可以识别出三种对称系数的变化区域，如图21所示。

如图21所示，在靠近自由液面的空泡截面，收缩持续时间明显短于膨胀持续时间，对称系数s小于1，即tc<te。此外，靠近自由液面的同一截面上，对称系数随着弗劳德数Fr的增大而减小。随着测量深度的增加，空泡截面远离自由液面，对称系数趋于1，即tc≈te。对于较小的弗劳德数（例如Fr=357.1），空泡演变属于I型，在广泛的测量深度范围内对称系数s大约等于1。然而，随着弗劳德数的增加，空泡表现出II型演变特征，出现颈缩和深层闭合现象。仅在中等测量深度范围内，对称系数接近1。对于较高的弗劳德数，在靠近深层闭合区域的测量深度处，空泡截面的收缩持续时间长于膨胀持续时间，对称系数大于1，即tc>te 。此外，如图15(b)所示，这些空泡截面的膨胀阶段与理论结果一致，而收缩持续时间比理论结果更长，这表明颈缩现象和深层闭合主要影响空泡截面的收缩阶段。

图21. 不同弗劳德数下空泡截面在不同测量深度处的对称系数

对称系数的分布可分为三个区域：tc<<te、tc≈te、tc>>te。

如图18所示，在自由液面闭合后，空泡尾部形成了向下的射流。图22进一步探讨了射流对空泡演变的影响，展示了空泡尾部的速度和压力分布。由于空泡内部与外部的压力差，尾部附近的水加速并被引导进入射流，在空泡收缩过程中逐渐膨胀。该水射流推动了空泡壁和内部空气的向下运动，从而抑制了空泡截面的膨胀，并显著增强了其收缩。因此，靠近自由液面的空泡截面对称系数小于1。扩展的射流最终撞击空泡侧壁，导致一个环状空泡从尾部分离出来，随后射流直径减小。

图22. 自由液面形成的向下射流的发展过程

对应的弗劳德数分别为：(a)=Fr=357.1(b)Fr=714.3。空泡尾部对齐以便进行比较。

图22(a)和22(b)分别展示了弗劳德数为Fr=357.1和Fr=714.3的情况下空泡演变，以研究在不同弗劳德数下自由液面生成的水射流对空泡演变的影响。对于Fr=357.1的情况，在t=5.2 ms时，一个小环状空泡从空泡中分离出来。随后，断裂区域的高压水流在空泡尾部引发了新的水射流，同时伴随着一个较小的环状空泡。这一过程导致水射流直径减小，从而减弱了尾部射流在更大深度处的影响。因此，远离自由液面的空泡截面对称系数在空泡坍塌之前大约保持为1。对于Fr=714.3，空泡尾部的水射流长度、速度和飞溅的水滴明显更大。在t=8.5 ms时，也观察到了环状空泡的分离，同时水射流直径显著减小，对后续空泡演变的影响减弱。更重要的是，在同一时间点，空泡尾部下方发生了深层闭合，影响了靠近颈缩深度的空泡收缩。

图23. 弗劳德数Fr=714.3下颈缩区域的速度（左）和绝对压力（右）场的演变

弗劳德数Fr=714.3下空泡颈缩区域的速度分布和压力场如图23所示，提供了更多细节以进一步分析深层闭合的影响。当空泡从液面断裂后，它变为一个单一连接的空泡。空泡的颈缩导致径向向内的气流，使闭合位置上方的气流转向向上。这增加了空泡内部的压力，并最终延迟了靠近闭合位置处的空泡收缩过程。这一现象可以在图24中观察到。随着Fr的增加，空泡在完全闭合前的内部压力也随之增加，从而延长了深层闭合区域附近空泡截面的收缩时间。因此，靠近深层闭合深度的空泡截面对称系数大于1。

图24. 测量深度z处空泡颈缩区域的压力演变(内部压力的测量点位于空泡壁内侧)

图25. 弗劳德数Fr=714.3下空泡深层闭合过程中的速度场(a)和绝对压力场(b)的演变

图25展示了整个空泡场在深层闭合过程中的速度和压力分布。空泡的颈缩将发展为深层闭合，在t∗=215.0时，空泡被分裂并断裂成两部分。深层闭合产生的高压远远大于弹体头部的水动力压力和环状空泡分离区域的高压。此外，深层闭合区域的高压进一步加速了分裂空泡射流的向上和向下运动 (Mansoor et al. 2014)。随后，上部空泡的向上水射流迅速运动，并与尾部的原始向下射流相撞，导致在t∗=225.0时产生更大的坍塌压力，而下部空泡的向下水射流继续加速坍塌进程，并在t∗=235.0时撞击到弹体。显然，由深层闭合引起的新分裂空泡射流加速了空泡的坍塌，而非延迟其坍塌。图25的结果表明，在深层闭合区域，收缩时间延长主要是由于颈缩过程中空泡内部压力的增加所致。

4. 结论
本研究采用了多相流的欧拉有限元方法，探讨了高速入水过程中空泡的膨胀与收缩。与以往主要集中在空泡形状分类、水动力载荷以及入水物体轨迹的研究不同，我们的工作主要分析了自由液面运动和空泡闭合对空泡演变的影响，特别是在空泡膨胀和收缩持续时间的不对称性及其潜在机制方面。
本文的数值模拟结果揭示了空泡的动态形态特征，这些特征与传统的理论计算有所偏离。尤其是空泡截面的最大直径随测量深度的变化呈现非单调性，即随着测量深度的增加，空泡直径先增大后减小。此外，当空泡靠近自由液面时，其膨胀和收缩过程表现出与理论预测不一致的不对称性，持续时间比理论预测更短。这种理论偏离归因于仅考虑径向流动的假设在自由液面附近失效，正如Aristoff & Bush (2009) 在构建小型疏水球体入水的理论模型时所指出的。我们的计算表明，自由液面的上升运动在抑制空泡膨胀方面起着关键作用，而自由液面闭合后产生的向下射流加速了靠近自由液面的空泡收缩。这两个现象强调了流动的轴向运动对空泡演变的显著影响。
上述不对称性通过对称系数进行评估，该系数定义为特定测量深度下空泡截面收缩与膨胀持续时间的比值。当考虑自由液面的影响时，该系数在靠近自由液面的测量深度始终小于1.0。随着测量深度靠近自由液面，偏差程度增加。这种显著的不对称性主要归因于自由液面闭合后形成和发展的向下射流，它显著促进了空泡的收缩。相反，随着测量深度的增加，该系数趋于接近1。这可能是由于射流的影响减小所致。在较浅深度时，射流已经撞击空泡壁并与周围液体融合，从而减少了其剩余体积，并减弱了其加速空泡深层部分收缩的效果。
除了射流，深层闭合也是影响空泡收缩和膨胀持续时间对称性的另一个因素。深层闭合中的颈缩现象改变了空泡内部的气流，导致空泡内部气压上升，从而抑制了空泡的收缩。收缩时间的延长可能导致对称系数超过1.0，尤其是在自由液面效应较低的较深位置。这突显了考虑空泡内部气流对空泡演变影响的重要性。这些发现为理解高速入水过程中的空泡动力学提供了新的信息。

翻译转载自：《Journal of Fluid Mechanics》“Investigation of free surface effect on the cavity expansion and contraction in high-speed water entry

来源：多相流在线