模态分析：振型、归一化、正交性、解耦、参与系数、有效质量

    对于振动系统，无阻尼和比例阻尼的模态频率稍有区别，但模态振型是完全一样的。所以下文用无阻尼系统的振动方程来阐述。

    无阻尼系统的振动方程：

    振动系统的第 i 阶模态振型(列向量)：

    可以对模态振型进行归一化处理，介绍常见的两种方法。

    1）最大元素归一化。将模态振型中绝对值最大的元素设为1，其它元素等比例调整。

    2）正交归一化(质量归一化)。等比例调整模态振型中的各元素，使下式成立。调整后的振型称为归一化振型、标准振型、正则振型。

    存在如下关系，表明模态振型具有正交性。

    模态刚度、振型刚度、广义刚度：

    模态质量、振型质量、广义质量：

    按序排列各阶模态振型，组成振型矩阵。

    通过振型矩阵，可以对振动方程完成解耦。

    联系上文提到的正交归一化，如果这里的模态振型是正交归一化后的振型，那么会有如下关系。

，单位对角矩阵；

    第 i 阶模态参与系数：第 i 阶振型中各元素与对应质点的实际质量的乘积求和除以第 i 阶振型的模态质量。（振型中各元素代表振动系统的自由度，自由度属于各个质点）

    联系上文提到的正交归一化，如果这里的模态振型是正交归一化后的振型，那么会有如下关系。

    第 i 阶模态有效质量：参与系数的平方除以模态质量。

    联系上文提到的正交归一化，如果这里的模态振型是正交归一化后的振型，那么会有如下关系。

    从理想主义角度，理论知识当然越多越好。但从现实主义角度，理论知识应该越少越好。

    一般仿真工程师，只需要关注各阶有效质量与总质量的比值求和达到一定的标准后，来判定所取模态数量是否足够。相关标准可从行业规范查找。