四边形面积坐标(一)

在构造四边形单元时，等参坐标的应用取得了巨大的成功，它有着公式推导简单，易于便捷描述，便于进行数值积分等优点，而且更重要的是它是一种自然坐标，因此可以克服直角坐标导致的方向性问题，但是它也有很多不足,其中最主要的一点是因为它与直角坐标之间不是线性变换，所以在模拟二次以上直角坐标的完备多项式时比较困难。

四边形特征参数

▲图1

如图1所示，以    表示四边形的面积，    和    分别表示三角形    和    的面积，定义

建立新的面积坐标系

建立新的面积坐标系,坐标分量的定义仍然采用面积比例的形式。具体的物理意义可参见图2

▲图2

设    为单元内任意一点，角点的连线作为单元的两个坐标轴，并形成一个斜交的坐标系。所采用的面积是    点与两个坐标轴围成的三角形的面积。在上述基本条件下，    点的坐标定义为如下形式:

其中，    是四边形面积，而    和    分别为两个阴影三角形的面积。

需要强调的是，已知三角形三个顶点坐标，在求面积时采用如下公式

我们约定结点    ，    和    的次序是逆时针转向的。

于是，对角线42的坐标为    ,对角线13的坐标为    。从图2可以看出，显然每个结点的坐标是唯一的，而且两个坐标是相互独立的。四个角点以及对角线交点的坐标值如图3所示

▲图3

面积坐标与直角坐标的关系

假设单元的四个角点的坐标分别为,单元内任意一点P的坐标为    。图2中两个阴影三角形的面积可以分别写为如下行列式形式:

把两个三角形的面积分别代入    的定义式(2)中，得:

从上式可以看出，两个坐标分量与直角坐标之间保持线性关系，这就可以从根本上保证单元的抗网格畸变性能。

面积坐标与等参坐标的关系

等参坐标的形式简洁,且构造单元时非常方便,因此被广为接受。在求单元刚度矩阵时虽然高斯积分对于面积坐标不再是必需的，但是很多情况下，得到刚度矩阵的积分显式需要耗费很大的工作量，因此采用高斯积分仍然是比较简单的方法，所以实现与等参坐标沟通，提供等参坐标表达式变得非常重要。四边形面积坐标    的等参坐标表达式: