任何物理系统的行为可通过数学方程定义，解这些方程可分析系统行为。方程复杂时直接找到解并不简单。有限元分析是一种近似技术，将物理系统数学表示转换为计算机可解的代数方程，计算一组离散化方程组获取数值解。

机械问题涉及静态、动态、振动、冲击、热和腐蚀等多种类型。静态问题关注在加载下结构达到平衡，通过分析结构上的力和力矩确保平衡。使用平衡方程、牛顿运动定律和力矩总和原理解决静态问题。本文将介绍手动使用有限元分析解决静态问题的步骤。

FEA 程序流程

FEA 程序分为三个部分，如下流程图所示。

问题描述和离散化

在讨论一维弹性杆问题的数值解计算一般步骤之前，首先要定义物理问题的性质。需要考虑问题的维度（1D、2D、或3D）、类型（固体力学、连续介质力学、传热、计算流体动力学）、性质（静态或动态、单体或多体）、以及材料的特性（塑性和破坏性能）。

在本文中，我们以一个具有固定横截面积 (A) 的简单实心杆为例。该杆具有弹性和杨氏模量 (E)。左侧被固定在所有自由度上，右侧受到压缩压力 (t) 的作用。杆中的应力、位移和应变是未知变量。问题被简化为一维，因为变形和应力在杆的横截面上几乎是均匀的，仅沿轴线变化。这是一个准静态问题，旨在计算杆在施加载荷的影响下达到平衡时的变形。

在本文中，我们将讨论定义有限元问题并使用简单的一维弹性杆问题计算数值解的一般步骤。

数学模型

        在此步骤中需要建立与输入和输出变量相关的数学方程。这可以使用平衡方程、弹性定律、传热定律和扩散定律等基本定律来获得。

        对于当前的问题，我们需要获得施加的力与杆的弹性变形之间的关系。为此，我们使用平衡方程和胡克物质定律得出数学模型。在这一步中，我们还需要确定边界条件并将其包含在数学模型中。对于一维问题，边界条件是在 x = 6 英寸处施加的体积力 b 和压力 t。一维杆问题的数学模型可以如下获得：

弱形式推导

在本步骤中，可以将优化要求应用于上一步建立的强形式方程，以获得弱形式。如下图所示，有不同的变分原理可以导出弱形式。

对于一维杆问题，弱形式导出为，

“弱”是指在这个新导出的弱形式方程中，位移变量u的连续性要求被削弱。为了使强形式微分方程在条形图上的任何位置都成立，u (du/dx) 的一阶导数必须是连续的，并且 u(d^2u/dx^2) 的二阶导数需要存在。而对于弱形式积分方程在棒上的任何地方都成立，u 及其变分 (δu) 应该是连续的，并且一阶导数可以在有限数量的位置处具有不连续性，因此连续性要求在此步骤中被削弱。

离散化

在此步骤中，我们将问题的计算域分解为一组更小的部分。每个段被称为一个元素。这种离散化计算域的过程称为网格划分。此处通过将 1D 条划分为 6 个单元（每个单元 1 个单元）来演示网格划分过程。相邻元素通过公共节点连接。出于跟踪目的对元素和节点进行编号。一维问题的网格划分过程非常简单。对于具有复杂几何形状的 2D 和 3D 域，这变得更加复杂。这可以通过使用算法以数值方式实现。

求解方案

定义未知变量

在此步骤中，未知变量（例如位移）在计算域中的元素上进行近似。我们假设一维杆问题中节点 1、2...6 处的未知位移分别为 u1、u2 ...u6。这些位移被称为节点位移。每个单元上的位移可以假设为线性、二次或其他更高的多项式，如下图所示。

x 中 u 的一般多项式函数可以写为，

让我们假设模型中每个元素的位移都是线性近似的。计算线性多项式系数给出每个元素的线性形状函数，如下所示。

必须在此步骤中计算所有元素的形状函数及其一阶导数值。有关形状函数及其属性的更多信息，请参阅我们之前的博客。

弱形式离散化

在这一步中，弱形式的全局积分可以分解为元素积分：

未知的位移函数及其导数必须用有限元多项式近似代替。对于第一个元素，这些多项式近似推导为：

将所有单元的有限元近似代入弱形式给出单元刚度矩阵和力矢量。

全局方程组

单元刚度矩阵 [k] 和力向量 {f} 应组装在全局矩阵和向量中，如下图所示。每个单元及其节点自由度都被赋予一个唯一的全局索引，这构成了构建全局矩阵的基础。请注意，基于网格连通性，一些单元刚度项将添加到全局矩阵中。

载荷和边界条件

        有两种类型的边界条件：自然条件和本质条件。本质条件直接应用于解矩阵（u，f），而自然条件描述影响解矩阵的现象。自然条件在元素矩阵制定过程中已包含在全局向量中，但本质条件应在此步骤中应用。有不同的方法可用于应用本质条件，如直接替代法、惩罚法和拉格朗日乘数。在一维杆问题中，本质边界条件是 u|x=0。

求解全局方程组

        必须在此步骤中求解应用了所有边界条件的整体全局方程组 (KU =F)，以获得解向量 {u}。随着问题域的规模和复杂性的增加，求解该方程组变得棘手且计算成本昂贵。有许多直接和迭代方法可用于求解该方程组，如下表所示。

后处理

        节点自由度只能通过求解全局方程组来获得。但我们经常需要计算其他物理量，例如单元中的应变和应力，并用云图将它们可视化。这些计算在此步骤中执行。

在一维杆问题中，我们可以通过以下方式计算每个单元中的应变和应力：

这些量可以绘制在图表上，也可以使用等值线图或动画进行可视化。

总结

        本文总结了处理简单1D FEA问题的步骤，随着计算域复杂性和维度增加，网格划分、全局矩阵和向量的复杂性也增加。商业FEA软件如Abaqus能自动化完成任务，提高解决方案获取速度，在现代工程设计和分析中发挥关键作用。