有限元 | 有限元法计算刚架的临界荷载

用有限单元法计算图1a所示刚架的临界荷载。相关公式见  有限元 | 梁的弹性稳定分析(二)

▲图1

单元划分和结构标识

该刚架仅有    杆受轴向压力作用,失稳时    杆的变形曲线为精确的三次的抛物线。因此,仅将    杆划分为长度相等的两个单元,结构标识如图1b所示。因忽略杆件的轴向变形,当用先处理法分析时仅需列出结点未知位移如下

组装弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵

整体坐标系下，单元①的弹性刚度矩阵放入整体弹性刚度矩阵

单元②的弹性刚度矩阵放入整体弹性刚度矩阵

单元②的几何刚度矩阵放入整体几何刚度矩阵

单元③的弹性刚度矩阵放入整体弹性刚度矩阵

单元③的几何刚度矩阵放入整体几何刚度矩阵

由    得

将上式展开可得一个关于轴向力    的三次方程，而方程的最小的根便是临界荷载。

本问题临界荷载的精确值为    ，上述有限元解比精确值偏高约2%，原因是假定了单元的位移函数相当于增加了无形的约束,从而增加了结构的刚度。

采用上述算法得不到屈曲模态，需要改进。