偏差应力和应力不变量的计算
摘要
本文讨论了偏差应力在固体力学和材料科学中的重要性，并详细解释了应力不变量和偏差应力不变量的计算方法，以及Lode角的计算。通过三轴压缩试验的示例，展示了如何计算应力张量、应力不变量和偏差应力不变量。此外，指出了Itasca手册中Lode角计算公式的潜在错误，并对比了不同软件中的Lode角计算方法。文章强调了正确理解和计算这些参数对于分析材料行为和预测工程结构稳定性的重要性。
正文
1. 引言
偏差应力(deviatoric stress)【Duncan-Chang双曲线模型的材料参数(Hyperbolic Material Model)；塑性硬化模型 [Plastic-Hardening (PH) Model]】在固体力学和材料科学的许多领域都非常重要，因为它与材料的扭曲和变形直接相关，而扭曲和变形可能导致塑性变形、破坏和其他重要现象。它是岩土力学破坏理论中的一个关键概念。偏差应力是总应力张量与静水应力张量之间的差值。
本文详细描述了偏差应力和应力不变量的计算过程，这是对Itasca软件手册《Stress/Strain Invariants》的扩展解释。此外，讨论了Lode角的计算方法。
已知在三轴压缩试验中，XY 平面上的单元压力为 100，Z 方向上的垂直压力为 400，求应力不变量和偏差应力。在三轴压缩试验中，试样的应力状态可以用应力张量来表示。给定试样中xy 平面上的单元压力为 100 (单位通常为 kPa 或 MPa，我们假设单位一致，且未指定)，z方向的垂直压缩压力为 400，则应力张量σ可以表示为：
在这种情况下，𝜎𝑥𝑥=𝜎𝑦𝑦=100，𝜎𝑧𝑧=400，假设没有剪应力，则 𝜏𝑥𝑦=𝜏𝑥𝑧=𝜏𝑦𝑧=0，因此应力张量简化为：
2. 应力不变量
应力不变量(Stress Invariants)是从应力张量中导出的标量，无论坐标系的方向如何都保持不变。三个主要的应力不变量是I1, I2和I3
(1) 第一不变量 (I1)。第一不变量是应力张量的迹，即主应力之和：
3. 偏差应力不变量
偏差应力不变量来自偏差应力张量，它表示材料中的微分应力，不包括静水(平均)应力分量。
(1) 首先计算平均(或静水)应力𝜎𝑚:
(2) 偏差应力张量(Deviatoric Stress Tensor)𝜎′是从每个法向应力分量中减去平均应力得到的：
其中𝛿𝑖𝑗是Kronecker delta，当𝑖=𝑗 时为 1，否则为 0。偏差应力张量𝜎′ 则为
(3) 第一偏差应力不变量J1=0，第二偏离应力不变量 𝐽2为
第三偏差应力不变量𝐽3是用偏差应力张量𝜎′定义的，它是偏差应力张量的行列式：
4. Lode角
洛德角(Lode angle)𝜃是一个用于分析应力状态的参数，尤其是在屈服和塑性变形的情况下，它提供了有关应力状态性质的信息，可区分不同类型的偏差应力状态 (如纯剪切、三轴压缩等)。洛德角𝜃可以通过偏差应力不变量𝐽2和𝐽3来计算：
代入上述计算的J2和J3值，得：
Itasca给出的计算公式和结果如下：
首先应该指出的是，手册中把Lode写成了Loge，这是一个打字错误，希望Itasca在后续的手册更新中改正这个错误。其次，Itasca显示的这个公式与我们使用的公式略有不同，本文使用的计算公式与Plaxis与Comsol使用的公式相同，采用的是cos而不是sin，此外不清楚为啥在式中加了一个‘-’号。按照它的这个公式计算如下：
3𝜃=arcsin(-0.999)
𝜃=1.526/3=0.509 (rad)
𝜃=0.509*(180/pei)=29.2° (deg)
Itasca给出的𝜃=3.14/6=0.52 (rad)
Itasca的公式给出的结果与本文的计算结果相差甚远，目前还没来得及找出具体原因，需要进行进一步证实。FLAC3D的NorSand模型和P2PSand模型使用了洛德角的概念。
