SMEAR技术：经典层合板理论在复合材料铺层优化中的应用

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上期讲到了经典层合板理论及存在的两个问题（已下架优化中）。本期我们聊一下经典层合板理论的具体应用——SMEAR技术

一、写在文前

SMEAR技术用于计算与铺层顺序无关的层合板的ABD矩阵。这是利用层合板的A矩阵和匀质板的[B]和[D]矩阵形成的ABD矩阵。层合板的[A]矩阵是与铺层顺序无关的。此外，由于均质板的[D]矩阵也是铺层顺序无关的，因此使用具有层合板[A]矩阵的均匀板[D]矩阵，能够推导出与铺层顺序无关的[D]矩阵。这里把与铺层顺序无关的[D]矩阵称为[D]smear。对于给定层合板，[D]smear矩阵是所有可能铺层顺序的[D]矩阵的平均。SMEAR技术用于复合材料设计优化，因为在层合板设计的初期，铺层顺序是无法确定的。

二、ABD矩阵与铺层顺序

在开始之前，我们回顾一下经典层合板理论中的ABD矩阵公式：

首先，我们看一下每个铺层的矩阵[Q]对层合板ABD矩阵的影响。下图表示在全局坐标系中，平面应力刚度矩阵[Q]与第K层的纤维方向之间的关系。我们可以从图中了解到，每个铺层[Q]矩阵在纤维角度从-90度到+90度之间的变化。[Q]矩阵中的每一项对层合板设计的作用，未来继续撰稿分析。

为了更清晰的看到ABD矩阵与铺层顺序的关系，我们举一个具有单位铺层厚度的例子，且每层的材料相同，纤维角度可以不同：

首先，我们可以看一下[A]矩阵中的几何项（），前面讲过，[A]矩阵用来描述层合板的拉伸行为，并把层合板的合力与中面应变连系起来。从上表中可以知道，[A]矩阵中的几何项（）总是正的，并且等于相应铺层的厚度。因此，对某一确定的层合板来讲，[A]矩阵与层合板的铺层顺序是无关的。更进一步，任意铺层顺序的层合板，只要各纤维方向铺层的数量相同，那么他们的[A]矩阵就是相等的。例如[0/0/45/45/90/90/-45/-45]的[A]矩阵与[0/45/90/-45/-45/90/45/0]的[A]矩阵是一样的。另外，只要正向的角度和负向的角度数量相同（我们常说的balance），矩阵的A14和A24都等于零，也就是不会表现出拉伸—剪切耦合效应。

接下来，我们看一下[B]矩阵中的几何项（），[B]矩阵用来描述层合板的拉伸-弯曲、拉伸-扭曲，剪切-弯曲和剪切-扭曲耦合行为。并把层合板的合力与中面曲率及板的合力矩与中面应变连系起来。从表中可以得到，[B]矩阵中的几何项（）在中面的正向上为正，在中面的负向上为负。因此，几何项（）是关于中面对称的。也就是说，如果铺层顺序是关于中面对称的，[B]那么矩阵是零。

最后，我们看一下[D]矩阵中的几何项（），[D]矩阵用来描述层合板的弯曲行为，并把层合板的合力矩与中面曲率连系起来。[D]矩阵中的几何项（）总是正的，并且与距离中面的距离成指数增长。因此，矩阵也与铺层顺序相关。因为0度铺层的Q11项最高，0度铺层在整个层合板中的位置会对层合板纵向x方向的弯曲行为有极大的影响。0度铺层距离中面越远，该方向上的弯曲行为“越硬”。对于90度铺层在横向y方向的行为也是一样的。如果一个铺层是平衡且反对称的，D14和D24将会等于0，层合板将不会有弯曲-扭转耦合效应。一般来说，对于具有十六层或更多层的层压板，D14和D24项变得无关紧要。