几何非线性| 桁架单元(一)

考虑一段一端由线性弹簧支撑的细长梁，如图1所示，弹簧刚度为 ，则弹簧的应变能为▲图1 其中， 是梁在 处的挠度。梁的势能为 现在来求 ▲图2如图2所示的两节点梁单元， 分别为四个节点自由度。物理坐标系 和自然坐标系 的线性映射关系 在节点1的位置时 ,在节点2的位置时 。挠度由三次多项式表示为 梁的转角 其中， 为单元长度。在节点1的位置时 ,由(2)(3)可得 在节点2的位置时 ,由(2)(3)可得 (4.1)~(4.4)联立解得 (5)代入(2)得 其中 记 ,(6)写成矩阵形式 由(3)可知，梁的广义应变(曲率) 记 则 其中 是应变矩阵。应力 由(7)(8)可知，(1)中的 就是 时 的值。 梁单元势能的表达式 其中记 经计算得 对于具有弹性支承的单元，只需将 加入到常规单元刚度矩阵中。▲图3对于图3所示得梁，弹簧刚度为 。只划分一个单元时，其有限元平衡方程为 考虑边界条件之后 来源：数值分析与有限元编程