有限元基本概念-【节点和积分点】

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在有限元分析中，我们常常听到节点应力、积分点应力等说法。那么，什么是节点？什么是积分点？它们有什么不同？

节点和积分点是有限元分析中的两个重要概念，我们先来看一下对于节点和积分点的介绍。

节点

节点是有限元模型中的基本构成单位，它们是在结构或区域上定义的固定位置。通常，有限元模型将结构或区域离散化为许多小的单元，每个单元通常由多个节点组成。节点是有限元分析中的重要连接点，它们用于描述结构的几何形状和边界条件。在求解过程中，通过节点的位移来描述整个结构的变形情况。

积分点

积分点是在有限元单元内部选取的特殊位置，用于对单元内部的积分进行数值近似。在有限元分析中，通常需要对单元内部的积分进行数值求解，例如计算单元的刚度矩阵和荷载向量。为了进行积分近似，通常会在单元内部选取一组特定位置作为积分点，并在这些点上进行数值积分。通过在积分点上进行加权求和，可以近似地计算出单元内部的积分结果，从而得到单元的刚度矩阵和荷载向量。

我们再回顾一下有限元求解的基本流程，如下图所示。

在有限元求解过程中，总体刚度矩阵的形式如下：

[K]{q}={P}

{q}为节点位移向量，[K]为刚度矩阵，{P}为节点载荷向量。

对于某一具体的问题，刚度K和载荷P是已知的，因此，方程求解的未知量实际上是节点位移，因此，节点位移是通过线性方程组直接求得的结果，它是最精确的。

不知道有没有细心的同学发现，在ANSYS查看结果时，应力和应变结果的“Details”中，都有一个叫“Integration Point Results ”的选项，而位移结果是没有这个的。

我们知道在对单元建立方程时，刚度矩阵是需要通过积分而得到的，其积分式如下所示。

为了求解积分，大多数有限元软件采用高斯积分的方式，在单元内分布多个高斯积分点。

在得到节点位移解后，我们再来求解应变和应力。与位移解不同，应变和应力不是直接在节点上获得的，而是首先在积分点上获得的。有限元软件会首先在高斯积分点上，依据几何方程计算出高斯积分点上的应变，然后基于虎克定律及几何方程推导的应变结果来计算高斯积分点的应力。

在节点上，应力/应变是通过这些积分点的应力/应变值，结合形函数进行向外插值得到的。因此对于应力/应变来说，积分点的值才是相对精确的，而节点值会因为选择的插值方法不同，而得到不同的结果。同时，因为一个节点可能会被几个单元共用，而通过不同单元内的积分点插值得到的该节点应力是不一样的，因此在最终显示节点应力时，通常会采用一种平均的办法（当然，大多数软件都会提供多种方法供你选择，这也是不同后处理软件显示的结果有差异的原因之一。我们在进行不同软件对标时，你如果仔细对比，就会发现位移结果对得很好，而应力应变却不太好）。

对不同的单元，具有有不同数量的高斯积分点数量，在有限元求解中，不同单元的求解精度和求解速度也会因此而不同。