几何非线性| 应变张量

▲图1

考虑二维空间中的一个连续体,  分别是其中的两个物质点，如图3.1所示。在连续体变形前(  时刻)引入物质坐标系  ，另外，在连续体变形之后(  时刻)引入空间坐标系  。两个坐标系相关的基向量分别为  和  。

按照  描述，位置矢量

位移矢量

变形前后的位置矢量之间的关系为

使用坐标系  ,变形后的物体中任意点的位置矢量：

变形前的  在变形后移动到新的位置  ,记

于是

定义梯度算子

则

其中，  叫做变形梯度，  叫做位移梯度。

由(3)可得

定义  应变

则

由(9)可得

则

展开，得

忽略高阶量  ，线性化的拉格朗日应变张量为

[例1] 给出如下的运动

则由  得

作求导运算

位移梯度