什么是尺寸优化、形状优化、拓扑优化？

    结构优化设计是将力学基础、数学计算方法以及计算机辅助技术良好地结合在一起，根据结构的使用要求，提出设计变量，寻找结构设计方案的所有可行域，最后运用数学求解算法在可行域中搜寻出达到预先设定最优目标的一种 CAE 设计分析方法。其最早可以追溯到 1854年 Maxwell首次提出的应力约束下桁架结构的最小重量设计工作，经过百余年的发展，结构优化在理论方法、求解算法，以及工程应用等方面均取得了很大的进步。

在结构优化设计中通常具有三个最基本的要素，即设计变量、约束条件和目标函数。

（1）设计变量

设计变量通常是与结构性能相关的参数，在结构优化设计过程中可在一定范围内发生改变，从而改善结构性能。例如结构的长度、宽度、厚度、高度、截面积、位置参数、铺层角度、弹性模量、相对密度等，在优化设计时，需要在这些设计参数中选择一种或多种参数作为优化设计变量，并寻找一组或几组最佳的设计变量组合，同时这些参数还需要满足优化问题中给定的各种限制条件

按照设计变量的性质划分，可将其分为以下四类

• 材料性能变量：如弹性模量、泊松比；

• 尺寸设计变量：如板的厚度、杆件的截面积；

• 形状设计变量：如结构的内外边界和杆件节点的位置；

• 拓扑设计变量：如单元的相对密度、构件的有无。

    根据连续性进行划分，也可以将其划分为连续设计变量和离散设计变量两大类。

    （2）约束条件

    为了保证优化设计得到的结构能够满足实际使用要求，在优化设计过程中，必须对部分或所有设计变量和优化中所关注的结构响应（一般为结构的性能指标）施加限制，这些限制条件即约束条件。约束条件并不是所有的优化问题都存在，因此根据约束条件的有无，结构优化可分为两类：一种是含有约束条件的优化模型，另一种是不含约束条件的优化模型。实际上大多数的结构优化设计都是具有约束条件的优化问题，约束条件的类型一般为结构的强度、刚度、动响应、可靠性、稳定性和制造工艺等。并且在实际工程优化问题中，约束的数目一般不止一个，即结构优化往往是多约束问题。

    （3）目标函数

    目标函数是在优化设计过程中所要追求的指标函数，一般而言均是关于设计变量的用于评价设计方案优劣的函数。对于一个工程设计问题而言，往往存在多个可行的设计方案，在这些方案中，通常只有一个设计方案使得目标函数最优，这个最优的设计方案即优化设计所要寻找的最优解。在大多数优化问题中，目标函数一般为结构的力学性能最优、质量最轻或体积最小，或者它们的组合。

    随着计算机技术和有限元方法的迅速发展，结构优化逐渐发展为一种为工程技术人员提供一种可靠、高效的改进结构设计方法的独立研究，成为力学的一个重要分支，根据结构优化的发展水平和结构设计变量的范围，将结构优化划分为从低到高三个层次。

    尺寸优化在指定的结构类型或者拓扑和形状优化的基础上优化零部件的尺寸。尺寸优化的设计变量一般是是杆的横截面面积、板的厚度或梁横截面的设计参数等，近年来随着复合材料的发展和应用，对复合材料的尺寸优化也日渐成熟，一般是以复合材料的铺层厚度和铺层角度为设计变量。在优化中可以加入强度、刚度、稳定性或频率等约束条件，并且一般是以重量最轻作为目标函数，力求获得最经济的结构，应用于结构设计的详细阶段。

    形状优化在指定的结构类型或拓扑优化的基础上优化结构边界或形状，属于结构设计的基本设计阶段，形状优化属于动边界问题。
    对于连续体结构，结构边界通常由具有一组可变参数的几何曲线（如直线、圆弧和样条曲线等）来描述。修改这些参数时，会调整设计区域的几何形状，通过改变这些边界，可以显著的改善结构的应力集中问题，从而有效的解决结构的断裂破坏和提高疲劳寿命。因此形状优化一般是以表示边界的几何曲线的几何参数为设计变量，如有限元网格的节点坐标或样条曲线的多项式参数等；以应力、频率、位移或设计变量的变化范围等作为约束条件，同时优化的边界必须满足“光滑”的连续条件；是以最轻的结构重量或者最小的结构面积作为目标函数，也可用最小的应力集中系数或者最大的结构疲劳寿命作为目标函数。

    拓扑优化是在指定的结构类型的区域内寻求结构材料的最佳配置，使结构在满足强度、刚度等约束条件下，将外载荷传递到结构支撑位置，同时使结构的某种特性达到最佳。
    拓扑优化属于结构设计的概念设计阶段，其优化结果是一切后续设计的基础。当结构的初始拓扑不是最优拓扑时，经过形状和尺寸优化可能导致次优结构的产生，因此在初始概念设计阶段就需要确定结构的最佳拓扑形式。根据优化对象的不同，又可分为连续体拓扑优化和离散体拓扑优化。
    连续体拓扑优化是从一维二维或三维连续的设计区域中去除低效能材料，得到的剩余材料的分布情况的优化设计，是以设计中子区域的实心或空心作为设计变量，以质量分数作为约束条件，以结构的整体刚度作为目标函数。近年来随着拓扑优化的发展，也可在约束条件中加入强度、刚度、频率等条件，目标函数也可设置为重量最小。
    离散体拓扑优化最典型的是桁架结构的拓扑优化，通常是在设计空间内建立一个由有限个杆组成的基结构，以节点和杆件的存在与否作为设计变量，以强度、刚度、稳定性和频率等作为约束条件，以重量或是柔度作为目标函数的优化模型。离散结构拓扑优化问题因其可行域内部不能相互连通，相比连续结构拓扑优化问题更加难以求解。因此，尽管离散结构拓扑优化发展较早，但其发展程度和相关文献远远落后于连续体结构的拓扑优化。一般拓扑优化均指连续体拓扑优化。

图2 三种优化方式的简单示意