结构有限元的基本原理(一)
目前,随着人工智能等新型方向的迅速发展,我们已经进入了科学技术高速发展的阶段,但是所有产品的底层核心还是固体的力学问题,解决这个问题的主要方法就是有限元法。结构有限元法有严格的数学理论支撑,并且具有编程方便,支持高性能计算等特点,自从商用软件推出以来,在工程中得到了广泛的应力,并且随着软件的人机交互界面使用更加方便,极大的降低了软件的使用门槛加速了软件的普及使用速度,但是如果要想用软件解决实际问题,则面临的困难和挑战依然严峻。目前,市场上的有限元理论图书或软件操作的视频资料非常多,对于入门能够满足要求,但是对于解决实际问题依然有很大差距,为了将软件的使用与理论结合,本公 众号会定期推出相关的原创文章与大家分享交流。
今天主要谈一谈结构有限元的控制方程中的各项参数的意义。
对于结构有限元通用的方程,如上式所示,该方程由质量矩阵[M],阻尼矩阵[C],刚度矩阵[K],载荷矩阵[F]和节点位移矩阵{u},该控制方程对于和时间相关的瞬态问题,为二阶微分方程组,如果是稳态问题,则为代数方程组,当然最后无论是瞬态还是稳态,都会转换为代数方程组进行求解,该控制方程的基本未知量为节点变形{u},注意这个节点变形包括弹性变形和空间的刚体 位移。我们看到的节点应变和节点应力,都是通过节点变形间接获得的参数,这个过程还会涉及到单元高斯积分点数据到节点数据的转换方法,关于这个过程,将在后续的文章里再进行详细说明。
节点变形和节点应变之间的基本关系是梯度的关系,即变形形梯度大的地方,应变就会大,则一般情况该位置的应力也会大,这也是用户关注的位置。这个梯度关系,对于不同的问题,具体的计算公式不同,如果是小变形问题,则相对简单一些,即(三个方向正应边和三个方向剪切应变)
联系应变和应力的方程,一般称之为应力-应变关系或本构方程,最简单的就是各向同性的线弹性本构方程:
通过以上简单的关系,可以解释结构中存在应力集中的位置,为什么发生在几何截面的变化位置,因为这个位置变形梯度大,因此应力就会偏大。
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