有限元分析中经典五大接触算法（罚函数法、一般拉格朗日法、增广拉格朗日法、多点约束法、梁约束法）
接触是物理学中一个重要的概念，它描述了两个独立表面之间的相互作用。当两个表面相互接触并相切时，它们之间就形成了接触关系。在有限元仿真中，接触是一个涉及两个或多个实体在接触界面上相互作用的概念。这种相互作用可能包括法向力（垂直于接触表面）和切向力（平行于接触表面）的传递，以及可能的相对滑动或摩擦效应。
接触关系具有以下特性：
（1）接触的表面具有不会渗透的特性。
（2）接触可以传递法向压缩力和切向摩擦力。
（3）通常接触不传递法向拉伸力。
（4）接触允许物体之间自由分离和互相移动。
接触是状态改变非线性的。这意味着系统的刚度（即抵抗变形的能力）取决于接触状态。当物体处于局部接触或分离状态时，系统的刚度会发生变化。
接触的非线性特性使得接触问题的分析和模拟变得复杂，需要采用特殊的数值方法和算法来处理。
在物理上，接触体间不会相互渗透。为了确保在分析和计算过程中，接触体之间不会发生穿透现象，程序需要建立两表面间的相互关系，这一过程被称为强制接触协调。
在 Ansys WorkbenchMechanical中，为了处理接触界面上的协调性，提供了几种不同的接触算法，包括：罚函数法、一般拉格朗日法、增广拉格朗日法、多点约束法以及梁约束法。
01
Pure Penalty（罚函数法）
罚函数法是ANSYS中的默认算法，适用于各类型的非线性接触(Frictional,Frictionless,Rough)，是相对于其他几种非线性算法中较为经济的一种算法。
罚函数法的原理是将零件之间的接触假设成两个节点之间通过弹簧连接，通过以下计算公式来求解两个接触面之间的接触压力：
Fn= KnXP
其中：Fn为接触压力，Kn为弹簧刚度，XP为接触面之间的穿透量。
罚函数法示意图
罚函数法的计算精度依赖于接触刚度和穿透量的大小。而实际工程中，两个接触的零件表面是不会有穿透的，显然罚函数的处理方法是一种为增强收敛性而进行的数值近似方法。因此，穿透量越小，计算结果精度越高，但同时收敛性较差。
02
Normal Lagrange（一般拉格朗日法）
一般拉格朗日法的原理是将接触压力作为一个自由度来满足接触协调性，它不需要通过接触刚度和穿透量来计算接触压力。
FN= DOF
由于没有罚函数那样的假想弹簧，接触面之间不允许发生穿透，所以计算精度更高。但拉格朗日法需要使用直接求解器来求解，需要消耗更多的资源，计算速度较慢。
也正是因为不允许穿透，接触状态要么是开放，要么是闭合，在数学上就像阶跃函数一样，这样有时就会导致收敛变得更加困难，因为接触点总是在开发和闭合之间来回振荡，这种现象我们称为接触扰动。
一般拉格朗日法接触状态
作为对比，在罚函数法中，由于允许一个微小的穿透量, 收敛变得更加容易，因为接触状态不再是一个阶跃变化。
罚函数法接触状态
03
Augmented Lagrange（增广拉格朗日法）
增广拉格朗日法是在罚函数的方法上衍生出来的一种方法，它与罚函数法类似，但是在计算接触压力时，引入了一个附加项λ。
Fn= KnXP+λ
因为额外因子λ的引入, 增广拉格朗日法对于接触刚度Kn的大小变得不敏感，这种设定更利于在给定的接触刚度较大的时候收敛，可以一定程度上提高计算精度，但同时也会造成收敛时间加长。
04
MPC（多点约束法）
对于两个面之间的粘结和无分离接触类型的特定情况，可以使用多点约束（MPC）公式。MPC在内部添加约束方程，以“连接”接触表面之间的位移。这种方法不是基于罚函数或拉格朗日乘子的。这是使结合的接触区域的表面相关联的直接、有效的方式。基于多点约束的接触支持大变形效应。
多点约束法示意图
05
Beam（梁约束法）
梁约束仅适用于绑定接触。该接触算法通过使用无质量线性梁单元将接触拓扑“缝合”在一起而起作用。
不同接触算法对比
关于积分点探测与节点探测
Pure Penalty 和 Augmented Lagrange 公式使用积分点探测， 这导致更多的探测点，如下图的例子中有10个探测点。
Normal Lagrange 和 MPC 公式使用节点探测 (目标法向)， 这导致更少的探测点，如下图的例子中只有6个探测点)。
节点探测在处理边接触时会稍微好一些，但是，通过局部网格细化，积分点探测也会达到同样的效果。
