从运动方程的简化，浅谈结构静力学与动力学

我们都听说过一句话：静止是相对的，运动是绝对的。
理论上，所有的物体都是运动的。所有的力学问题，其载荷都是和时间相关的。以单自由度的质点为例，结构在运动时大致会受到如下所示的几种作用力。

其中：

    以上结构质点的受力可以用一个方程表示：

ma+cv+ku=F(t)

    该方程称为结构的运动方程，其中：m为质量，a为加速度，c为阻尼，v为速度，k为刚度，u为位移，F(t)为外载荷。
    如果结构质点是静止或匀速直线运动的，即加速度a=0，且F(t)不随时间变化，变成一个恒定的F，则方程就变成了静力学平衡方程：

ku=F

    这就是静力学与动力学的主要区别。

    对于动力学运动方程的求解，有限元分析中最直接的方式就是瞬态动力学分析，直接施加随时间变化的载荷进行分析。这种分析方法是最接近实际情况的，也是最准确的。

    然而，在实际工程中，这个F(t)是花样百出的，如果直接采用瞬态动力学分析，有时候显得很浪费时间，有时候又不一定能搞得出结果。
    因此，我们就根据F(t)的不同形式，采用不同的简化方法来进行分析，包括模态分析、谐响应分析、反应谱分析、随机响应分析等。

    如果F(t)=0，对于结构质点来说，就是一个自由振动问题，在有限元仿真分析中对应的分析类型为模态分析，如果不考虑阻尼c，则为无阻尼自由振动。
    模态分析是研究结构动力特性的一种方法，通常应用在工程振动领域。它关注于机械结构的固有振动特性，每一个模态都具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。模态分析的主要目的是通过计算和分析这些模态参数，来了解结构在不同模态下的振动特性。模态分析也是后续动力学分析的基础。

    如果F(t)是一个变化频率固定的，类似于正弦（简谐）变化的载荷，在有限元仿真分析中对应的分析类型为谐响应分析。
    工程中许多设备都会承受简谐载荷的作用，例如：电机、泵、风机和发电机组等旋转机械，发电机、变压器和传输线路等电力装备，压缩机、振动筛等往复运动的设备。

    如果F(t)在不同频率下有不同的值，在有限元分析中可采用反应谱分析方法。例如地震载荷，在地震时，它看似一个随机的载荷，但经过处理，可以把载荷变成不同周期（或频率）下的反应谱曲线。

    如果F(t)是随机变化的，只能通过统计学方法，将随机变化的载荷进行转换，变为和频率相关的函数（功率谱密度），通过随机响应分析来评估其作用大小了。
    工程中如汽车在颠簸的路面行驶、飞机在跑道滑行及空中飞行、航天器发射、风载荷作用于建筑或设备上，都是承受随机载荷的情况。