有限元 | 梁的弹性稳定分析(二)

摘要

本文推导了梁单元的几何刚度矩阵，基于线性弹性稳定问题的定义，考虑了杆件单元在轴向力作用下因横向虚位移引起的虚变形和虚功。通过虚功原理和节点位移插值，得到了单元轴向荷载在虚应变上所作的虚功表达式，进而推导出与单元几何尺寸相关的几何刚度矩阵。该矩阵的积分计算可用于求解结构的临界荷载，对于分析结构的稳定性具有重要意义。

正文

推导梁单元的几何刚度矩阵

线性弹性稳定问题，所谓“线性”指的是:①杆的轴向力或板的张力由线性弹性分析决定；②在屈曲引起的无限小位移过程中，轴向力或张力保持不变。对于板来说，就是由线性弹性平面应力分析求得张力，而且在达到屈曲时，张力保持不变。至于非线性屈曲或屈曲后的性态，这将是非线性大位移问题。

▲图1

首先分析单元轴向力在由于横向虚位移引起的虚变形上所作的虚功。图1所示为杆件单元上的任一微段    ,    是其失稳之前的位置,    为轴压力达到临界值时可能出现的分支平衡位置。设微段由平衡位置    发生无限小的横向虚位移至    ,    和    分别为虚位移发生前、后微段的长度。微段的虚应变可表示为

由弧长公式

(2)代入(1)，并略去高阶微量,得由横向虚位移产生的轴向虚应变为

▲图2

如图2所示，单元轴向荷载所作的虚功为

式中单元的轴向荷载    以受拉为正。(3)代入(4)可得

由节点位移插值得挠度

于是

(7)代入(5)可得

有关形函数，应变矩阵等参见有限元 | 基于虚功原理推导梁单元刚度矩阵

存在于单元中的应力    在上述虚应变中所作的虚功为

由虚功原理    可得

记

式中，    与材料物理常数    无关，只与单元的几何尺寸有关，因此称为几何刚度矩阵。经积分计算后可得

(10)可写成

对于一个结构，有

该齐次方程组有非零解，则

(13)可求结构的临界荷载。