矩阵特征值计算

对于计算特征值，没有直接的方法。2阶或3阶矩阵可以采用特征多项式来求。但如果试图求下列矩阵的特征值，我们试图用特征多项式

P(x)=(x-1)(x-2)...(x-20)

求特征值是不明智的。

考察一个二阶矩阵A

矩阵有主特征值4与特征向量[1,1],以及另一个特征值-1与特征向量[-3,2]，这里主特征值是指矩阵的所有特征值中最大的一个。

把矩阵A乘以任意向量x0（比如[-5,5]），得到以下结果：

用矩阵A反复乘以初始任意向量，其结果是把这个向量平移到非常接近A的主特征向量。这不是巧合，完全可以再换一个向量试试。

当这些步骤提供了求特征向量的方法后，如何求近似特征值？换句话说，假设矩阵A和近似特征向量已经知道，如何求相应近似特征值？考虑特征方程

xξ = Ax

这里x是近似特征向量，ξ是特征值，且ξ未知。借助于最小二乘，得到：

以上求特征值的方法叫幂迭代法。