矩阵方程_科普-仿真秀干货文章

矩阵方程

对于矩阵 A(n,n) 和 B(n,m) 组成的矩阵方程

[A][X] = [B]

记 X(n,m) 的第i列向量为 Xi(i = 1,2...m)，矩阵B的第i列向量为 Bi(i = 1,2...m), 则上述方程等价为

但在实际计算时不应该分别求解，如果是这样的话就造成计算机资源极大浪费，而应该是对所有向量一次选主元消去，然后分别回代。即可以得到方程的解矩阵X。具体做法是将矩阵A(n,n)和B(n,m)组成增广矩阵[AB],通过选主元消去将AB的第1列至第n列变成上三角矩阵，用解上（下）三角方程组的回带方法解方程组 [Aup][Xi] = [Bi] (i = 1,2...m) 。再把Xi拼接起来就得到 [X] 了。

以下是模块代码：

用以下的矩阵方程来验证

输出结果为

来源：数值分析与有限元编程

迭代法计算结构的自振频率

迭代法用于求矩阵的最大特征值，逆迭代法用于求矩阵的最小特征值，矩阵特征值与自振频率之间的关系为 ω= √λ / (2*π)一般来说，一个结构有多少个质量自由度，就有多少个自振频率。而对于大型复杂结构，其质量自由度往往达到上百万个，这就意味着自振频率也有上百万个。但是我们最关心的是最低阶的频率。逆迭代法用于求矩阵的最小特征值。现有一个四层框架，EI = 0.5，m =1。求得整体刚度矩阵KK和整体质量矩阵MM分别为采用逆迭代法计算此结构的最小频率，程序如下：计算结果为最小频率和采用经典结构力学方法求得自振频率一致。后记逆迭代法用于求矩阵的最小特征值。也就是说只能求一个特征值与对应的特征向量，在结构分析中，需要求多个自振频率。方法是采用同时迭代，如子空间迭代，Lanczos迭代等。来源：数值分析与有限元编程