坐标映射

建立等参单元，需要另外一个自然坐标系下的参考单元。对于物理坐标系下的任意一点，在自然坐标系下的参考单元中，有唯一的一个点与之对应；反过来对于自然坐标系下参考单元的任意一点，在物理坐标系下的单元中，有唯一的一个点与之对应。

设点P（x,y）是物理单元的任意一点，坐标变量x用自然坐标系可表示为，

这种映射关系是基于C0连续。写成矩阵形式：

α1、α2、α3、α4为待定参数。物理单元的四个结点（x1,y1），（x2,y2），（x3,y3），（x4,y4）在参考单元有四个结点(-1, -1), (+1, -1), (1, 1),  (-1, +1)与之对应。

写成矩阵形式

求出参数α，就得到了这种映射关系：

同理，坐标变量y也有这种映射关系：

现在来验证这种映射关系，参考单元的中心点（0，0），即当ξ=0，η=0时，坐标变量分别为

这个点正好是物理单元的中心点。

参考单元的结点3（1，1），即当ξ=1，η=1时，坐标变量分别为

这个点正好是物理单元的结点3。