广义雅可比方法

标准雅可比方法只能求解标准特征值问题。对于广义特征值问题需要采用广义雅可比方法求解。

前面已提到标准Jacobi方法的理论依据是对于实对称阵 A，必有正交阵 Q ，使

QTAQ = Λ

其中Λ是对角阵，其主对角线元素λii是A的特征值，正交阵Q的第i列是A的第i个特征值对应的特征向量。同标准Jacobi方法类似，广义雅可比方法也是将刚度矩阵和质量矩阵同时对角化。

假设有一系列正交变换矩阵P1、P2、...、Pn的乘积组成P，即

P = P1P2...Pn

并且使得 PTKP 和 PTMP的非对角线元素为0（实际计算中非对角线元素设为小于一个误差范围内的数值） 

现在来求Pk。在第k步，构造如下的矩阵Pk

Pk的所有对角线元素均为1，在第i行j列的元素为α，第j行i列的元素为β，其余元素为0。α和β不是任意值，而是必须使PTKP 和 PTMP第i行j列的元素同时为0。这样就有如下关于α和β的方程组

具体计算时K和M的非对角线元素从第一行开始按照如下的顺序消0

【算例】求Kx=λMx的特征值与特征向量。

Fortran版程序输出结果为

MATLAB自带的eig函数输出结果为

二者结果一致。

PS：MATLAB版和Fortran版程序可在QQ群248687168下载。

点击【阅读原文】查看标准Jacobi方法求实对称阵的特征值的理论。