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矢量的一些应用(一)

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本文摘要(由AI生成):

本文探讨了微积分在描述物理变量中的应用,特别是与牛顿力学相关的重要应用。微积分能够处理矢量的微分,对于理解速度和加速度的几何意义具有重要作用。文章详细解释了速度矢量的组成,并指出其在径向和切向两部分的表达。此外,文章还介绍了使用基底表示法来简化速度和加速度的计算,这在实际应用中非常方便。微积分的运用不仅在力学中有重要作用,同时也对数学本身产生了深远的影响。


量和微积分一样因牛顿力学的发展而应运而生,无论是对于力学和其他学科都有许多必不可少的应用,就是对数学本身也取得相当多的成就。下面就谈谈一些比较重要的应用:

(一)描述物理变量

在经典牛顿力学中,位置、速度、加速度以及所谓的力都是矢量,因此为了叙述经典的牛顿第二定律,必须要先给出矢量的微分。


因为速度矢量 =dr/dt,如图1所示,注意 =r*r0,其中 r 为 r 的长度,而 r0r 的单位矢量。所以 

=(dr/dt)r0 +(dr0/dt)r

但由图可知, (dr0/dt) =(dθ/dt)θ0

因此

 V =(dr/dt)r0 +(dθ/dt)rθ0,

θ0r0 的横向(即与其正交)矢量的单位矢量。由此可见,速度矢量是由径向和切向两部分组成的。

这样的写法对于理解速度和加速度的几何意义的作用比较明显,但对于计算显然是很不方便的。若采取基底的表示法就比较容易了。比如将 r 表示为:

=x+y+zk

则速度和加速度可表示为

=dr/dt =(dx/dt)+(dy/dt)+(dz/dt)k






来源:数值分析与有限元编程
科普
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首次发布时间:2024-04-01
最近编辑:7月前
太白金星
本科 慢慢来
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矢量函数

本文摘要(由AI生成):本文介绍了函数w = f(x,y,z)在几何角度下的理解,它表示了如何将三维空间中的点与一个数值联系起来。函数可以是标量函数,如温度函数T(x,y,z),其输出是标量如温度。另外,还有矢量函数,如流体速度函数v(x,y,z),它表示在每个点的矢量,即大小和方向。矢量函数可以分解为沿坐标轴方向的分量,如空间中的力F(x,y,z)可以分解为x、y、z方向的标量函数。这些函数在物理和工程领域有广泛应用。一个由三个变量组成的函数w = f(x,y,z)表示如何根据x,y,z来确定w的值。从几何角度更有利于对这个概念的理解:在空间笛卡尔坐标系下取一点,坐标为(x,y,z),函数w = f(x,y,z)告诉我们如何将一个点和一个数联系起来。例如:一个函数T(x,y,z)可以表明空间任意一点的温度。以上提到的函数f(x,y,z)和T(x,y,z)是标量函数,即在函数T(x,y,z)中给x,y,z赋值得到的结果是温度,温度是标量。矢量函数的一般形式简单明了。在三维空间中的一个矢量函数是一个将每个点(x,y,z)和矢量对应的法则,例如流体的速度。指定一个函数v(x,y,z),它表明了流体的速度和在这一点的流动方向。一般来说,一个矢量函数表明了在某个空间区域内每个点的大小和方向。可以利用许多箭头来描绘矢量函数的图像,如图1所示。在任一点处箭头的方向由矢量函数所确定,箭头长度和函数值大小成正比。如图2所示,和矢量一样,矢量函数也能分解为几个分量。空间任意方向的力F(x,y,z)可以沿着坐标轴方向分解为F(x,y,z)= Fx(x,y,z)i + Fy(x,y,z)j + Fz(x,y,z)k其中Fx、Fy、Fz分别表示x,y,z方向的标量函数。 下面举一个矢量函数的例子:PS:本文将矢量加粗以示区别。来源:数值分析与有限元编程

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