有限元 | 二次样条梁单元

样条梁单元是样条函数与有限元法相结合的产物。有限元法将结构分割成若干单元，位移场采用分段插值或者分区插值。常用的插值方法有Lagrange插值，Hermite插值和样条插值等形式。经典梁单元就是采用的Hermite插值形式。与其他插值形式相比，样条插值具有待定系数少，连续性强，精度高等优点。下面来推导采用二次样条函数作为位移插值函数的梁单元刚度矩阵，并将计算结果与经典梁单元对比。

关于样条函数的性质，可参考有关文献资料。为方便起见，推导经典梁单元刚度矩阵需要使用自然坐标系和物理坐标系。由于有4个位移节点条件，可假设梁单元的位移场挠度为具有四个待定系数的函数模式，其中 C1， C2， C3， C4 ， C5， C6 为待定系数。

算例：

自编程序计算结果为：

弯矩，剪力和解析解完全相同，跨中挠度为26.25，解析解为26.67，误差为1.612%