有限元 | 颇有难度的薄板协调单元

本文摘要（由AI生成）：本文从变分原理角度探讨了不同类型的有限元单元，包括协调类型、平衡类型、混合类型、杂交类型及杂交混合类型。协调类型以位移为自变函数，基于最小势能原理；平衡类型以应力为自变函数，基于最小余能原理；混合类型则同时考虑位移和应力；杂交类型结合平衡条件的应力场与协调条件的位移函数；杂交混合类型则进一步引入独立的位移函数。不同类型的单元具有各自的优缺点，如协调元精度较差，平衡模型实践应用较少，混合单元求解困难，而杂交单元在结构位移和应力精度上表现较好。这些分析为数值分析与有限元编程提供了重要依据。从变分原理角度来看，按照所选取的独立自变函数的类型，可以分为如下几种类型：1 协调类型 以位移作为独立自变函数，使用的变分原理是最小势能原理。作为独立自变函数的位移首先要满足几何方程，位移边界条件以及单元间的连续性条件，故这种单元称为位移协调元。若位移函数不完全满足单元间的连续性，此类单元称为非完全协调元。2 平衡类型以应力作为独立自变函数，使用的变分原理是最小余能原理。作为独立函数的应力首先要满足平衡方程，应力边界条件以及单元间的应力平衡条件，故这种单元称为平衡单元。3 混合类型以位移，应力作为独立自变函数，使用的变分原理是广义变分原理，如两类变量的赫林格-赖斯纳（Hellinger-Reissner）广义变分原理，这种单元称为混合单元。4 杂交类型在每个单元内构造满足平衡条件的应力场函数，并且沿单元间满足协调条件的位移函数，使用变分原理是修正的余能原理，这种单元称为杂交单元（Hybrid Element）5 杂交混合类型以单元内的位移，应力作为自变函数，并且沿单元间边界构造独立的位移函数，使用修正的赫林格-赖斯纳变分原理建立的这种单元称为杂交混合单元。基于最小势能原理的协调单元，位移是自变函数，而其他物理量如应力是由位移场经过微分求得，因此，协调元的精度较差。基于最小余能原理的平衡单元，由于构造的应力场既要在单元内部满足平衡条件，又要在单元间满足力的连续条件，这是相当困难的，因而平衡模型在实践中较少使用。混合单元的刚度矩阵存在主对角元素为0的问题，求解上存在困难。当在变分原理中放松了应力边界条件和单元之间的应力平衡条件时，可以得到修正的余能原理，在此基础上可以建立杂交应力的有限元模型。这种单元的单元内部应力场和单元间边界边界的位移独立构造，可以方便地得到结构位移，并且单元应力精度也较高。来源：数值分析与有限元编程