双线性二次插值

本文摘要（由AI生成）：

本文介绍了线性插值和双线性插值的概念。线性插值是在两点之间插入一点，使其值落在两点值的连线上。而双线性插值则是在两个方向上进行线性插值，常用于二维空间中的插值计算。文章通过举例说明了双线性插值的过程，并给出了基于拉格朗日插值的计算公式。最后指出，双线性插值的结果与插值的顺序无关，无论是先进行哪个方向的插值，结果都是一致的。

线性插值的概念简单粗暴，就是两个点A，B，要在AB中间插入一个点C（点C坐标在AB连线上），就直接让C的值落在AB的值的连线上就可以了。如A点坐标(0,0),值为3，B点坐标(0,2)，值为5，那要对坐标为(0,1)的点C进行插值，就让C落在AB线上，值为4就可以了。
但是如果C不在AB的线上肿么办捏，所以就有了双线性插值。双线性插值，顾名思义就是两个方向的线性插值加起来（这解释同样简单粗暴）。所以只要了解什么是线性插值，分别在x轴和y轴都做一遍，就是双线性插值了。
如图，已知P12，P22，P11，P21，但是要插值的点为P点，这就要用双线性插值了，首先在x轴方向上，对R1和R2两个点进行插值，这个很简单，然后根据R1和R2对P点进行线性插值，这就是所谓的双线性插值。

根据水平方向上的双线性二次插值，由f(i,j)和f(i+1,j)求取f(x,j)，由
f(i,j+1)和f(i+1,j+1)求f(x,j+1)，然后再根据这两点的二次插值求f(x,y)。

  根据拉格朗日插值，我们可以很容易的求取各点插值如下：
f(x,j)=(i+1-x)f(i,j)+(x-i)f(i+1,j)                             
f(x,j+1)=(i+1-x)f(i,j+1)+(x-i)f(i+1,j+1)                              
f(x,y)=(i+1-y)f(x,j)+(y-j)f(x,j+1)              
以上三式综合可以得到：
  f(x,y)=(j+1-y)(i+1-x)f(i,j)+(j+1-y)(x-i)f(i+1,j)+(y-j)(i+1-x)f(i,j+1)+(y-j)(x-i)f(i+1,j+1)    
令x=i+p,y=j+q得：
 f(i+p,j+q)=(1-q)(1-p)f(i,j)+p(1-q)f(i+1,j)+q(1-p)f(i,j+1)+

pqf(i+1,j+1)    

双线性插值的结果与插值的顺序无关。无论是先进行 y 方向的插值，然后进行 x 方向的插值，还是先进行 x 方向的插值，然后进行 y 方向的插值，所得到的结果是一样的。