求逆矩阵

本文摘要（由AI生成）：

本文介绍了计算矩阵逆的基本原理和方法。首先，通过矩阵方程AX=E，将逆矩阵的计算转化为矩阵方程问题。接着，给出了一个算例，并提到了自编程序输出结果，同时提供了程序下载链接。此外，文章还介绍了两种常用的求逆矩阵方法：伴随阵法和初等变换法。伴随阵法利用矩阵的行列式和伴随矩阵来计算逆矩阵；初等变换法则通过一系列的行初等变换将原矩阵转化为单位矩阵，同时单位矩阵转化为逆矩阵。文章还详细解释了初等变换法的原理和证明过程，包括初等矩阵的概念和性质。这些方法为数值分析和有限元编程等领域提供了有效的工具。

●基本原理

设矩阵A[n,n] 为非奇异矩阵，且其逆矩阵存在，记 inv(A)= X，则
                                     AX =E
其中E为n阶单位矩阵.由此，计算矩阵 A 的逆矩阵可以转化为计算矩阵方程问题。

   链接：   矩阵方程

●算例
计算矩阵 A 的逆矩阵，其中

自编程序输出结果为：

程序在这里下载

其他常用的求逆矩阵方法：
1伴随阵法：A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式的值，A*为矩阵A的伴随矩阵。
2初等初等变换法：(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。
注意：初等变化只用行运算，不能用列运算。矩阵A经过一系列的初等变换（包括行变换和列变换得到E(需要证明) 证明：（证明前说明一个问题：一个矩阵进行一次行变换相当于左乘一个m阶初等矩阵，进行一次列变换相当于右乘一个n阶初等矩阵（初等矩阵就是由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵（初等变换包括三种方式即：交换矩阵某两行，某两列或者将矩阵的某一行或某一列的k倍加到另一行或另一列去））那么即是p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E(并不是直接得到E,而是一个只与E和O有关的矩阵，但由于qn，pn的行列式都不为0，则得到的与和O有关的矩阵的行列式不为0，则该矩阵为E，这里说明A必须为n阶矩阵)p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E两边同时乘以pn，qn的逆矩阵）则得到A=pn-1*……p1-1*qn-1*……*q1-1） ，那么同理我们可以将A-1表示为A-1=G1*G2*……Gn，(G1、G2……Gn均为初等矩阵)也可以写成A-1=G1*G2*……Gn*E(因为一个矩阵乘以E还是原矩阵)两边同时右乘A,即A-1*A=G1*G2*……Gn*A,则E=G1*G2*……Gn*A,这就是说E经过一系列行初等变换（就是交换E的两行或者将E的某一行的K倍加到另一行去）得到A-1,而A经过与上面相同的行变换得到E,那么我们可以这样表示（A,E）~一系列行变换~（E,A-1），因此我们可以把A,E放在一起形成一个2n阶矩阵，在经过一系列行初等变换，当A变为E时，E变为A-1.