严格对角占优矩阵_科普-仿真秀干货文章

严格对角占优矩阵

本文摘要（由AI生成）：

本文介绍了严格对角占优矩阵的定义，即一个n阶方阵A的主对角元素的绝对值大于该行（或列）其余元素的绝对值之和。通过举例说明了如何判断一个矩阵是否为严格对角占优矩阵。严格对角占优矩阵具有多个重要性质，包括是非奇异矩阵、其非齐次线性方程组有解，以及适用于多种迭代法收敛。对角占优矩阵在多个领域如经济、网络、算法等中都有广泛应用。本文还提到了对角占优矩阵的来源，涉及数值分析与有限元编程等领域。

定义：对于一个n阶方阵A，主对角元素的绝对值大于该行其余元素的绝对值之和，即|aii|>Σ|aij| ( j /= i )。则称矩阵A是严格对角占优矩阵。对列同样成立。

判断下列矩阵是否为严格对角占优矩阵。

A是严格对角占优矩阵，因为|3|>|1|+|-1|，|-5|>|2|+|2|，|8|>|1|+|6|。B则不是严格对角占优矩阵，因为|3|<|2|+|6|，|-2|<|9|+|2|。

严格对角占优矩阵的性质：

1、如果A为严格对角占优矩阵，则A为非奇异矩阵。

2、若A是严格对角占优矩阵，则关于它的非齐次线性方程组有解。

3、若A为严格对角占优矩阵，则雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和0<ω≤1的超松弛迭代法均收敛

证明第一条：如果A为严格对角占优矩阵，则A为非奇异矩阵。

对角占优矩阵是计算数学中应用非常广泛的矩阵类，它较多出现于经济价值模型和反网络系统的系数矩阵及解某些确定微分方程的数值解法中，在信息论、系统论、现代经济学、网络、算法和程序设计等众多领域都有着十分重要的应用。

来源：数值分析与有限元编程

开源有限元框架 FEniCS

本文摘要（由AI生成）：FEniCS是一款开源的计算软件，安装过程繁琐，需在虚拟机中安装Ubuntu后再安装。其拥有上百个C++类库和丰富的Python接口，但过度抽象导致底层实现难以摸清，自定义修改困难。对于有限元分析新手不够友好，但资深用户视其为利器。一篇文献也指出FEniCS存在一些问题，需谨慎使用。如需更多信息，可访问其官网或查阅相关文档。官网：https://fenicsproject.org/和deal.ii一样，安装过程同样很麻烦，也需要装个虚拟机，安装Ubuntu、再安装 FEniCS,看来很多开源的计算软件还是偏重爱LINUX。 FEniCS的c++类库索引页，有上百个，够多吧。https://fenicsproject.org/olddocs/dolfin/latest/cpp/classes.html FEniCS的python接口索引页https://fenicsproject.org/docs/dolfin/latest/python/api.html它的抽象做得确实够好，但过度的抽象就丢失了具体，看看上面那么多的抽象类就知道了。我只能说想要摸清楚它底层的实现过程，或者想自定义地修改一些模块都太难了。通过对FEniCS的研究之后，你就会明白自己动手造轮子的重要性了。它的定位是比较尴尬的：如果想自己来编代码搞搞学术研究吧，只能做些应用层级的工作，很难深入底层；想要当工具做实际计算吧，那还不如用ANSYS,Abaqus这类商业软件呢。对于做有限元分析的新手来说它不怎么友好，但对于大牛而言他确实是利器，犹如一把瑞士军刀。一篇文献《FEniCS is highly overrated》也是吐槽这个软件是夹生饭，可点击阅读原文查看。https://ckadapa.wordpress.com/2017/11/01/fenics-is-highly-overrated-dont-use-it/参考资料：来源：数值分析与有限元编程