Jacobi迭代法解线性方程组

本文摘要（由AI生成）：

本文讨论了线性方程组求解的两种方法：高斯消元法和迭代法。当方程组规模较大时，高斯消元法耗时较长，因此采用迭代法。迭代法通过有限步迭代逐渐减小误差，得到近似解。对于系数矩阵为严格对角占优矩阵的方程组，迭代法收敛。文章以Jacobi迭代法为例，展示了迭代求解过程，并给出了Fortran源代码。此外，文章还回顾了严格对角占优矩阵、高斯消元法及其算法改进的相关内容。

当线性方程组的规模比较大时，采用高斯消元法需要太多时间。这时就要采用迭代法求解方程组了。高斯消元法是一个O(n^3)的浮点运算的有限序列，在经过有限步计算之后理论上得到的是精确解(无舍入误差时)。而迭代法在经过有限步迭代之后一般不产生精确解，迭代法在计算过程中逐渐减小误差，当误差小于容许值时停止迭代计算。方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵时，迭代总是收敛的。

●Jacobi迭代法

对于方程组3u+v=5，u+2v=5，将其改写为如下的形式

由于方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵时，迭代一定收敛。使用初值[u0，v0]=[0，0]开始迭代，以下是迭代过程：

继续迭代过程最终会收敛到解[1，2].这个迭代过程就是Jacobi迭代。

对于方程组u+2v=5，3u+v=5，由于方程组的系数矩阵不是严格对角占优矩阵时，因此迭代不收敛。来看迭代过程：

设D表示系数矩阵A 的主对角部分，L表示A的主对角线下方部分，U表示A的主对角线上方部分。则A=D+L+U，AX=b可改写为

对于上面的方程组3u+v=5，u+2v=5，写成矩阵形式

迭代格式为

这与之前的迭代格式是一致的。

Fortran源代码

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