病态方程组_科普-仿真秀干货文章

病态方程组

本文摘要（由AI生成）：

本文研究了方程组解对系数误差的敏感性。方程组(1)的解在系数产生1%的相对误差后几乎不变，而方程组(2)的解则发生了显著变化。这是因为方程组(2)所表示的两条直线几乎平行，导致其对系数误差非常敏感，这种方程组称为病态方程组。对于病态方程组，处理原则包括采用高精度数值运算、预处理方法、特殊数值解法或改变原问题提法，以减轻数值不稳定性。这些研究对于数值分析和有限元编程具有重要意义。

对于方程组(1)

其精确解是x=1.0，y=0.0 。如图所示，点(1.0，0.0)是方程组所表示的两条直线的交点。

对于方程组(2)

其精确解是x=-1.5，y=0.5 。如图所示，点(-1.5，0.5)是方程组所表示的两条直线的交点。

现假设方程组(1)的系数a11产生了1%的相对误差，即3.00变成了3.03 。那么方程组的解变成了x=0.995，y=0.008，几乎和原来的解相同。假设方程组(2)的系数a11产生了1%的相对误差，即1.00变成了1.01 。那么方程组的解变成了x=1.789，y=0.193，和原方程组相比，发生了很大的变化，由此可见，方程组(2)对系数误差非常敏感。

实际上，方程组(2)所表示的两条直线几乎是相互平行的，所以方程组系数的微小变化都会使他们的交点产生较大变化。像方程组(2)这样的因系数的很小改变却导致解改变很大的方程组，称为病态方程组，称相应的系数矩阵A为病态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性。对病态方程组有四种处理原则：采用高精度的数值运算；采用预处理方法；采用特殊的数值解法或寻找出现病态的原因，改变原问题的提法。

来源：数值分析与有限元编程

SOR迭代法解线性方程组

本文摘要（由AI生成）：本文介绍了SOR迭代方法，它是在Gauss-Seidel迭代法基础上进行改进的一种数值求解线性方程组的方法。SOR迭代通过取前后两次迭代结果的加权平均来加速收敛过程。其中，参数ω的选择对SOR迭代的收敛速度至关重要。当ω=1时，SOR迭代退化为Gauss-Seidel迭代；ω>1时称为逐次超松弛迭代，ω<1时称为逐次低松弛迭代。通过数值算例比较了Jacobi、Gauss-Seidel和SOR三种方法的收敛性能，发现合理选择ω值能使SOR迭代比Gauss-Seidel更快收敛。文章还提供了SOR方法的Fortran程序示例，并回顾了Jacobi和Gauss-Seidel迭代法解线性方程组的相关内容。SOR迭代是在Gauss-Seidel迭代方法基础之上的进一步改进。其特征是取xk+1和xk的一个适当的加权平均来加快Gauss-Seidel收敛。对于方程组Gauss-Seidel迭代格式为而SOR迭代则是：显然，参数ω=1时就是Gauss-Seidel迭代。而参数ω>1时称为逐次超松弛(Successive Over-Relaxation,SOR)迭代，ω<1时称为逐次低松弛(Successive Under-Relaxation)迭代。·数值算例对于下列的稀疏方程组，其精确解是X=[1,1,...,1]。1)当n=200时,分别用Jacobi，Gauss-Seidel以及SOR（ω=1.5和ω=1.2），比较三种方法收敛所需的迭代步数。2)当n=1000时,分别取ω=1.2，1.3，1.6时SOR收敛所需的迭代步数合理选择参数ω决定了SOR比Gauss-Seidel更快收敛。如果参数选择不当，SOR反而比Gauss-Seidel更慢。参数ω=1时就是Gauss-Seidel迭代。而参数ω>1时称为逐次超松弛(Successive Over-Relaxation,SOR)迭代，ω<1时称为逐次低松弛(Successive Under-Relaxation)迭代。SOR方法Fortran程序☆☆☆ 往期相关 ☆☆☆Jacobi迭代法解线性方程组Gauss-Seidel迭代法解线性方程组来源：数值分析与有限元编程