高精度数值运算解病态方程组

本文摘要（由AI生成）：本文研究了方程组解对系数误差的敏感性。方程组(1)的解在系数产生1%的相对误差后几乎不变，而方程组(2)的解则发生了显著变化。这是因为方程组(2)所表示的两条直线几乎平行，导致其对系数误差非常敏感，这种方程组称为病态方程组。对于病态方程组，处理原则包括采用高精度数值运算、预处理方法、特殊数值解法或改变原问题提法，以减轻数值不稳定性。这些研究对于数值分析和有限元编程具有重要意义。对于方程组(1)其精确解是x=1.0，y=0.0 。如图所示，点(1.0，0.0)是方程组所表示的两条直线的交点。对于方程组(2)其精确解是x=-1.5，y=0.5 。如图所示，点(-1.5，0.5)是方程组所表示的两条直线的交点。现假设方程组(1)的系数a11产生了1%的相对误差，即3.00变成了3.03 。那么方程组的解变成了x=0.995，y=0.008，几乎和原来的解相同。假设方程组(2)的系数a11产生了1%的相对误差，即1.00变成了1.01 。那么方程组的解变成了x=1.789，y=0.193，和原方程组相比，发生了很大的变化，由此可见，方程组(2)对系数误差非常敏感。实际上，方程组(2)所表示的两条直线几乎是相互平行的，所以方程组系数的微小变化都会使他们的交点产生较大变化。像方程组(2)这样的因系数的很小改变却导致解改变很大的方程组，称为病态方程组，称相应的系数矩阵A为病态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性。对病态方程组有四种处理原则：采用高精度的数值运算；采用预处理方法；采用特殊的数值解法或寻找出现病态的原因，改变原问题的提法。来源：数值分析与有限元编程