建模| 利用辛普森公式计算湖泊面积

如图1所示，建立坐标系XOY。横坐标n等分，x0 = a，x1 = a+h，x2 = a + 2h，... , xn = a + nh = b，h =(b - a)/n，纵坐标差值Δy0，Δy1，...,Δyn通过测量得到。

构建函数关系式f (xj ) =Δyj ，(j=0,1,2，... ,n) 。根据辛普森公式，湖泊的面积为

[算例]

如图2所示为一不规则湖泊水面，根据辛普森公式得其面积为

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数学模型就是对实际问题的一种数学表述。换言之，实际问题是具体的，复杂的。数学模型是抽象的，简化的。为了达到某一特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，从而得到一个数学逻辑结构。利用模型，通过数学的分析处理，能够对实际问题给出深层次的解释，或者预测实际问题的未来状况，或者是提供处理问题的策略。生活中的某些实际问题可以利用已有的数学知识，推求其相应的数学结果，然后把所得的结果，返还到原来的实际问题中去。

来源：数值分析与有限元编程

数值积分| 辛普森公式

辛普森积分法是一种用抛物线近似函数曲线来求定积分数值解的方法。把积分区间等分成若干段，对被积函数在每一段上使用辛普森公式，根据其在每一段的两端和中点处的取值近似为抛物线，逐段积分后加起来，即得到原定积分的数值解。如图1所示，二次抛物线y=A+Bx+Cx^2(A,B,C为常数)上有三个点(h,yL), (0,yM),(h,yR),则在区间[-h，h]积分对于一个区间[a， b]，将其n等分, x0 = a，x1 = a+h，x2 = a + 2h，..., xn = a + nh = b，其中h =(b - a)/n。现已知各点的函数值yj = f (xj ) ,由上述公式可得以上各式相加得到这就是辛普森公式。如图2所示，对于复杂函数，可以在划分好区间之后，通过插值的办法将其改写为抛物线形式：其中E(x)是误差。各区间积分，累加，同样可得到辛普森公式。[算例1]用辛普森公式计算函数y=5x^4在区间[0，2]的积分(n=4) 。精确值是32[算例2]用辛普森公式计算函数y=1/x在区间[1，2]的积分。比较n=4，n=8，n=16时的误差。误差分别为：来源：数值分析与有限元编程