平面四边形等参单元(Q4)的刚度矩阵

坐标系(物理坐标系)下Q4单元的刚度矩阵为

此时应变矩阵是的函数

其中

单元刚度矩阵，等效节点荷载，单元应力，应变等物理量是通过坐标系表达，而在计算时却是在坐标系下。因此

此时应变矩阵是的函数

两个坐标系下坐标转换的桥梁为

其中是坐标系中单元四个顶点坐标，是形函数

坐标系中任意函数在坐标系的表达式为，根据链式求导法则

或者

其中，是雅可比矩阵

其中

由此可得

将换成形函数

例如

在坐标系下

则

k是矩阵，若将看作函数，则也是列阵。

注意是积分点的坐标。

等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种单元类型。

优点：由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算在规则域内进行，因此不管矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可知以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法道中应用最为广泛的单元形式。

来源：数值分析与有限元编程

数值积分|二元函数的高斯积分

一元函数高斯积分的积分区域为[-1,1]，二元函数的高斯积分区域为，也就是一个边长为2的正方形区域，称为标准区域。考虑二重积分利用累次积分和一元函数的高斯积分公式可以得到：或者这就是二元函数的高斯积分公式。其中W表示积分点权重，n表示积分点数目。n随着被积函数阶次增加而增加。实际应用中，积分区域大多是非标准区域。比如这时就需要将非标准区域映射到标准区域，即x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) 其中是是xOy坐标系下四个顶点的坐标。叫做形函数。 xOy坐标系下一个无限小矩形区域面积 ,而在坐标系下的面积可以得到这里是雅可比矩阵。的证明见高数教材。[算例] 利用高斯公式计算二重积分其中0<x<2,0<y<1/2x+2 四个顶点的坐标分别为(0,0),(2,0),(2,3),(0,2) 雅可比矩阵采用4个积分点的高斯积分注意这里的是高斯积分点的坐标, 。接下来用Python编程可得到结果。毕竟数值计算都要编程的。来源：数值分析与有限元编程