手算Q4单元刚度矩阵

坐标系(物理坐标系)下Q4单元的刚度矩阵为 此时应变矩阵 是 的函数 其中 单元刚度矩阵，等效节点荷载，单元应力，应变等物理量是通过 坐标系表达，而在计算时却是在 坐标系下。因此 此时应变矩阵 是 的函数两个坐标系下坐标转换的桥梁为 其中 是 坐标系中单元四个顶点坐标， 是形函数 坐标系中任意函数 在坐标系 的表达式为 ，根据链式求导法则 或者 其中， 是雅可比矩阵 其中 由此可得 将 换成形函数 例如 在 坐标系下 则 k是 矩阵，若将 看作函数 ，则 也是 列阵。 注意 是积分点的坐标。等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种单元类型。优点：由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算在规则域内进行，因此不管矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可知以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法道中应用最为广泛的单元形式。来源：数值分析与有限元编程