Q4单元的等效节点力_科普-仿真秀干货文章

Q4单元的等效节点力

(一)体力作用下的单元等效节点力

仅考虑体力作用时，单元的势能为

其中

仅考虑重力作用时

{ a }是单元节点位移向量。代入上式

对作变分运算，得

令则

故体力计算公式为

(二)面力作用下的单元等效节点力

仅考虑面力作用时，单元的势能为

作变分运算得

令则

故面力计算公式为

注意这里是曲线积分，是单元得边界。事实上单元边界总是位于，现以的边界为例

如图所示，假定面力为均布荷载，方向与x轴的夹角为 ,则有

表示单元边界上均匀分布的法向力和切向力。根据曲线积分和定积分之间的关系为

又

因此，面力计算公式为

在划分单元时，应尽可能将集中力作用点作为节点，该集中力即为节点荷载。这样就不必对其进行额外处理。分布荷载转移到单元节点上必须遵循静力等效原则。

等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种单元类型。

来源：数值分析与有限元编程

手算Q4单元刚度矩阵

平面四边形等参单元(Q4)的刚度矩阵由前文可知 k是矩阵，若将看作函数，则也是列阵。是积分点的坐标。将k分块，即如图是一个单元, 。采用4个高斯积分点计算单元刚度矩阵。四个积分点坐标分别为：积分点权重皆为1 于是附python代码：import numpy as npA = np.array([ [-1.5773 , 1.5773 , 0.4227 , -0.4227],[-1.5773 , -0.4227 , 0.4227 , 1.5773] ] )B = np.array([ [3,2],[5,2],[5,4],[3,4] ])C = np.dot(A,B)C = 0.25 *C 同理可得同理可得由此可得其余计算相同。单元刚度矩阵特点：1.对称性2. 奇异性3. 主对角元素恒正4. 所有奇数（偶数）行的和为 0刚度是表示物质形变能力的一个量，也就是说物体抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的节点力，与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质。或者说，是物体产生单位的位移所需要加载的载荷量。刚度矩阵和刚度概念相似，就是把刚度变到了多维比考虑了在多维的情况下各个维度的相关性。★★★★往期相关★★★★平面四边形等参单元(Q4)的刚度矩阵数值积分|二元函数的高斯积分来源：数值分析与有限元编程