有限元方法为何偏爱高斯积分_科普-仿真秀干货文章

有限元方法为何偏爱高斯积分

有限元中用高斯积分(Gauss)较多,有些参考书会着重介绍高斯积分，譬如王勖成老师的《有限单元法》中会有专门一节。有限元方法为何偏爱高斯积分？个人总结有以下两个原因：

一) 积分复杂

采用等参坐标构造的等参单元刚度矩阵几乎得不到显式表达式。高斯积分很方便得到单元刚度矩阵。

二) 克服剪切锁定等问题

在实际问题中如深梁、厚板、厚壳等考虑剪切行为的单元中会出现所谓的剪切自锁，也包括一些体积自锁、膜自锁等单元中的应用。这些出现所谓自锁的单元，用少于完全积分所要求的积分点个数时，可以发现其对自锁能起到缓解作用。减缩积分的概念也容易理解，即采用少于精确积分点个数的积分。比如平面四边形等参数单元求节点位移时采用4个积分点，求单元应力时采用一个积分点。在二维、三维单元中，插值函数会有不同方向多项式的组合，也包括被积函数最终形式可能不是多项式，但仍然采用高斯积分。减缩积分带来的零能模式或沙漏，数值上可以理解为矩阵的奇异性，这就涉及到减缩积分点的布置，譬如在某一个方向采用完全积分，另外一个方向采用减缩积分，或者所有方向统一采用减缩积分。

当然还有另外一条技术路径避免剪切自锁，以假设应变为代表，强制对产生自锁的应变进行假设，然后可以仍然采用完全积分进行计算。引入的假设应变相当于添加了约束，可以用约束变分原理来实现。相对于减缩积分避免一些自锁问题，假设应变+完全积分有数值性能相当好单元，譬如在板壳中，MITC这类假设应变壳单元是性能极优异的单元之一。

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弹性厚板的剪切锁定（shear locking）

来源：数值分析与有限元编程

手算Q4单元等效节点力

Q4单元的等效节点力在前一篇得到面力作用下Q4单元的等效节点力计算公式： [算例]显然，注意，这里已经是一元函数积分了，是常数1.同理如令通过python编程可计算tau = 0sigma = 1xi = [0.5773, -0.5773]eta = [1, 1] # eta的坐标是1x = [1, 2, 3, 0] # 单元节点的x坐标y = [0, 0, 1, 1] # 单元节点的y坐标f3tx = 0f3ty = 0f4tx = 0f4ty = 0for i in range (2): N3 = 0.25 * (1 + xi[i]) * ( 1 + eta[i]) N4 = 0.25 * (1 - xi[i]) * ( 1 + eta[i]) J11 = -1*( 1-eta[i]) * x[0] + ( 1-eta[i]) * x[1] + ( 1+eta[i]) * x[2]- ( 1+eta[i]) * x[3] J11 = 0.25 * J11 J12 = -1*( 1-eta[i]) * y[0] + ( 1-eta[i]) * y[1] + ( 1+eta[i]) * y[2]- ( 1+eta[i]) * y[3] J12 = 0.25*J12 f3tx = f3tx + N3 *( tau*J11 - sigma * J12 ) f3ty = f3ty + N3 *( sigma*J11 + tau * J12 ) f4tx = f4tx + N4 *( tau*J11 - sigma * J12 ) f4ty = f4ty + N4 *( sigma*J11 + tau * J12 ) print(f3tx,f3ty,f4tx,f4ty) ★★★★往期相关★★★★Q4单元的等效节点力手算Q4单元刚度矩阵平面四边形等参单元(Q4)的刚度矩阵四节点等参单元（Q4）有限元程序等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种单元类型。来源：数值分析与有限元编程