计算机模拟定积分的定义_System_python

计算机模拟定积分的定义

黎曼(Riemann)对定积分的定义是：积分区间划分为无数子区间，子区间内任意一点的函数值乘以子区间的长度得到一个矩形面积，然后将这些矩形面积累加起来可以得到积分值。

对于定积分 ,在[0,1]内随机取一个数r，通过转换成矩形的高。再乘以矩形的宽度1，就是一个矩形的面积。

经过多达1000000000次的重复计算，并把这些面积相加，再除以重复计算的次数，得到的值应该是一个接近PI的实数。且计算的次数越多，误差就越小。以下是C++代码


#include <iostream>#include <iomanip>#include <random>#include <cmath>
const size_t n{ 1000000000 };int main(){    std::random_device rd;    std::default_random_engine rng{ rd() };
    std::uniform_real_distribution< > values{ 0.0, 1.0 };    //生成随机数种子    double sum{};
    for (auto counter{ 1 }; counter <= n; ++counter)    {        sum += (4 / (1 + pow(values(rng), 2)) );
    }
    std::cout << "the value of PI is:" <<         std::fixed << std::setprecision(8) << sum / n << std::endl;
    system(" pause ");    return 0;                                                                                }

运行结果为

对于uniform_real_distribution是半开范围[ )。也是就是说上面的例子中，能产生0.0，但不会产生1.0。

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数值积分|中点法则(Midpoint Rule)

来源：数值分析与有限元编程

数值积分|中点法则(Midpoint Rule)

黎曼(Riemann)对定积分的定义是：积分区间划分为无数子区间，子区间内任意一点的函数值乘以子区间的长度得到一个矩形面积，然后将这些矩形面积累加起来可以得到积分值。中点法则(Midpoint Rule)是取子区间的中点的函数值作为矩形的高，如图所示对于定积分，将积分区间划分成4个等长子区间,每个子区间中点的函数值为 .可以得到定积分的近似值为：如果划分为8个子区间，可得到精确值是0.69314781... 子区间划分越多，误差就越小。为了配合编程实现，可以通过将子区间的数量增加三倍来设计算法，而不是前面的辛普森，龙贝格公式增加两倍子区间。如图所示，空心圆圈表示必须计算的新值，而实心圆圈表示前一个迭代步计算的值。可得到递推式： [算例]用中点法则求 import math### Midpoint ruler求积分### y = 4/( 1+x^2 )def Func(x): return 4/( 1+pow(x,2) ) def MidPointIntegrate(Func, a, b, eps = 1e-6): kmax = 5000 # 最大迭代步数 f1p6 = 1./6. f5p6 = 5./6. h = b-a n = 1 m0 = h * Func(a+0.5*h) for k in range(1,kmax+1): sumf = 0 for i in range(1,n+1): sumf += Func(a+(i-f5p6)*h) + Func(a+(i-f1p6)*h) m = (m0 + h*sumf)/3 if (math.fabs(m - m0) <= eps * math.fabs(m)): break h /= 3 n *= 3 m0 = m if (k >= kmax): print("已经达到最大迭代步数!") return m S = MidPointIntegrate(Func, 0, 1, eps = 1e-6)print(S) 结果为来源：数值分析与有限元编程