数值微分|有限差分法的误差分析_python-仿真秀干货文章

数值微分|有限差分法的误差分析

在所有有限差分表达式中，系数之和为零。对舍入误差的影响可能很大。很小时，的值几乎相等。当它们通过系数相乘再相加，可能会丢失几个有效数字。

以(1)为例，分子可能会为0。但是我们不能使h太大，因为这样截断错误将变得过大。为了解决这个矛盾，我们可以采取以下措施：

1 使用双精度浮点数运算
2 采用精确度至少为的有限差分公式

例如，用中心差分法计算在处的二阶导数。取不同的值以及精度为和，手算结果见下表

精确值为。精度为时，的最佳值为0.08。由于截断和舍入错误的共同影响，三位有效数字丢失。大于最佳值，主要错误是由截断引起的。小于最佳值，舍入误差变得明显。

精度为时，结果精确到四位有效数字。这是因为额外的精度降低了舍入误差。最佳约为0.02。

Python的双精度计算

import math
h = 0.02x = 1.0                                                                                   
ddf = ( math.exp(-(x+h)) - 2*math.exp(-(x)) + math.exp(-(x-h)) ) / (h*h)
print(ddf)

输出结果：

h的取值对双精度计算影响不大。

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来源：数值分析与有限元编程

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中心差分法详见：数值微分|中心差分法(Central Finite Difference Approximations)求区间端点的导数时,不能用中心差分法。考虑在个离散点给出函数的情况,由于中心差分在的两侧使用函数的值，因此我们将无法计算导数。显然，需要只在的一侧求值的差分表达式。这些表达式称为向前和向后有限差分(forward and backward finite difference approximations)。一阶向前和向后差分由泰勒公式可得到：由(1)可得或者同理，由(2)可得 (6)称为求的一阶向前差分公式。(7)称为求的一阶向后差分公式。由(1)(3)可得求的一阶向前差分公式：一阶向前差分法的系数见下表。一阶向后差分法的系数见下表。二阶向前和向后差分由(1)(3)消去可得即或者 (10)称为求的二阶向前差分公式。二阶向前差分法的系数见下表。二阶向后差分法的系数见下表。★★★★往期相关★★★★数值微分|多项式的导数计算C++版数值微分|多项式的导数计算通过案例学Python之定义函数类数值积分|第二类反常积分数值积分|第一类反常积分数值积分|中点法则(Midpoint Rule)数值积分|龙贝格公式数值积分|自适应辛普森积分公式数值积分|自适应梯形积分数值积分|牛顿-柯特斯公式数值积分|高斯积分数值积分|泰勒(Taylor)公式求积分数值积分| 辛普森公式Python实现辛普森公式来源：数值分析与有限元编程