函数式编程计算微分_科普-仿真秀干货文章

函数式编程计算微分

高阶函数(higher-order function)

函数本身也可以赋值给变量，例如：

>>> f = abs
>>> f
<built-in function abs>

如果一个变量指向了一个函数，那么，可否通过该变量来调用这个函数？用代码验证一下：

>>> f = abs
>>> f(-1)
1

说明变量f现在已经指向了abs函数本身。

在上一篇提到的map函数的调用方式:map(function, iterable, ...)。可以看到，参数列表中就有函数。filter，reduce等函数与之类似，其参数列表中也有函数。

将其他函数作为参数或者将函数作为结果返回的函数，称为高阶函数。

要计算的和，我们可以这样编程：

defadd(x,y):
return x + y
reduce(add, [1,2,3,4,5,6] )

reduce的第一个参数是一个函数，第二个参数是一个列表。作为reduce的第一个参数的函数必须接受两个参数并返回单个结果。

正如函数可以作为其他函数的输入参数一样，函数也可以作为其他函数的返回。

deffun(n):
returnlambda x: x**n

这里返回的一个匿名函数。下面来调用这个高阶函数

>>> f = fun(3)
>>> f(2)
8

甚至可以一步到位：

>>> f = fun(3)(2)
8

函数式编程计算微分

函数的导数定义如下：

defDerivative(f, h):
returnlambda x: ( f(x+h) - f(x) ) / h

调用上面的函数求在的导数。

value = Derivative(lambda x: x**2, 0.0001) (10)

函数式编程计算n阶导数

利用递归算法计算n阶导数。

defDerivative(f, h):
returnlambda x: ( f(x+h) - f(x) ) / h
defDerivative_n(f, h, n):
if n == 0:
return f
else:
return Derivative(Derivative_n(f, h, n-1), h)

调用上面的函数求在的3阶导数。

value = Derivative_n(lambda x: x**4, 0.0001, 3) (10)

来源：数值分析与有限元编程

函数式编程计算数值积分

以函数式编程方式，计算数值积分。定积分的定义点击这里：定积分的精确定义下面以定积分为例，展示过程。如图所示，将积分区间6等分，每一个子区间长度为0.5，则数值积分值为最终结果与精确值的误差为 python代码steps = 6 #积分区间六等分a = 0.0b = 3.0dx = (b-a)/steps #每个子区间长度f = lambda x: x**3 - 6*x #积分函数#构造{0,1,2,3,4,5}r = range(steps) #{0,1,2,3,4,5}映射成为{0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3}map_r1 = map(lambda x: (x+1)*dx, r) # 子区间右端点函数值，即每个矩形的高度map_h = map(f, map_r1)int = dx * sum(map_h)print(int) 如果将积分区间500等分，计算结果为-6.723，相对误差为 Python代码：steps = 500 #积分区间500等分a = 0.0b = 3.0dx = (b-a)/steps #每个子区间长度f = lambda x: x**3 - 6*x #积分函数#构造{0,1,2,3,4,5,...,500}r = range(steps) map_r1 = map(lambda x: (x+1)*dx, r) # 子区间右端点函数值，即每个矩形的高度map_h = map(f, map_r1)int = dx * sum(map_h)print(int) 采用同样思路的C++代码(需要支持C++20标准的编译器)#include <iostream>#include <ranges>#include<numeric>using namespace std::ranges::views;int main(){ constexpr auto steps {500} ; constexpr auto a {0.0}; constexpr auto b {3.0}; constexpr auto dx { (b-a)/steps }; // constexpr auto f_cubic = [](double x){return x*(x*x) - 6*x;}; constexpr auto r_int {iota(0, steps)} ; // constexpr auto r_pos {r_int | transform([dx](int i){return dx*(0.5 + i);}) }; constexpr auto r_cubic{ r_pos | transform(f_cubic)} ; // constexpr auto res {dx* std::accumulate(r_cubic.begin(), r_cubic.end(), 0.0)} ; // std::cout << "积分结果为：" << res << std::endl;}来源：数值分析与有限元编程