GUYAN缩减法求自振频率_振动-仿真秀干货文章

GUYAN缩减法求自振频率

求解大型问题时，其动力自由度可达数万，为求解增加了难度。在结构的某些自由度方向上，惯性力为零或很小，因此可以忽略不计。这些方向上的运动方程退化为静态方程，并用于消除相应的位移。这在使用有限元模拟结构时很常见。由于集中假设，集中质量的转动惯量为零，因此相应的惯性量也为零。因此，旋转自由度虽然是精确近似结构刚度所必需的，但对动态响应的贡献可以忽略不计。

对于自由振动方程

记

同样，将惯性力写成动力自由度分量的形式：

记

其中表示要保留的自由度集合, 表示舍弃的自由度集合。表示的含义一样。

综上，自由振动方程可写成分块形式：

令的 ,可得

结构的应变能为

写成分块形式

将(3)代入，消去得到

其中

是缩减的刚度矩阵表达式。同理，结构的动能

写成分块形式

将(3)代入，消去得到

其中

是缩减的质量矩阵表达式。

这样一来，特征值问题的求解规模大大减小，即

然后可以恢复所舍弃部分的特征向量

[算例] 如图所示的悬臂梁，采用2个单元得到的刚度矩阵和质量矩阵为

采用GUYAN缩减法，忽略旋转自由度，和是平动自由度，和是旋转自由度，保留和。

得到缩减刚度矩阵和缩减质量矩阵

★★★★★★★★★★★★★★★

往期相关

★★★★★★★★★★★★★★★

Lanczos算法求自振频率

子空间迭代法求结构自振频率

来源：数值分析与有限元编程

面积坐标推导三角形常应变单元(CST)

本文内容：面积坐标推导三角形常应变单元(CST)三角形面积坐标理论点这里：三角形面积坐标单元刚度矩阵如图所示，CST单元的位移场其中写成矩阵形式或者单元应变场其中用微分公式得到即可得到单元刚度矩阵单元刚度矩阵具有显式表达式。利用python的符号计算库sympy推导单元刚度矩阵表达式import sympy as syb1, b2, b3, c1, c2, c3 = sy.symbols('b1 b2 b3 c1 c2 c3')n, k = sy.symbols('n k')# n泊松比，k=0.5*(1-n)MB = sy.Matrix( [ [b1, 0, b2, 0, b3, 0 ], [0, c1, 0, c2, 0, c3], [c1, b1, c2, b2, c3, b3] ] )MD = sy.Matrix( [[1, n, 0], [n, 1, 0], [0, 0, k]] )tmp = MB.T * MDtmp2 = tmp * MBprint(tmp2) 等效节点力如图所示的均匀分布荷载，按照整体坐标系将其分解为，等效节点力利用公式这里，为三角形的边长。对于2-3边， ★★★★★★★★★★★ 往期相关★★★★★★★★★★★三角形面积坐标用面积坐标推导六节点三角形单元刚度矩阵有限元 | 二次样条梁单元有限元 | 三次样条梁单元来源：数值分析与有限元编程