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GUYAN缩减法求自振频率

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求解大型问题时,其动力自由度可达数万,为求解增加了难度。在结构的某些自由度方向上,惯性力为零或很小,因此可以忽略不计。这些方向上的运动方程退化为静态方程,并用于消除相应的位移。这在使用有限元模拟结构时很常见。由于集中假设,集中质量的转动惯量为零,因此相应的惯性量也为零。因此,旋转自由度虽然是精确近似结构刚度所必需的,但对动态响应的贡献可以忽略不计。

对于自由振动方程

 

 

同样,将惯性力写成动力自由度分量的形式:

 

其中    表示要保留的自由度集 合,    表示舍弃的自由度集 合。    表示的含义一样。

综上,自由振动方程可写成分块形式:

 

令    的    ,可得

 

结构的应变能为

 

写成分块形式

 

将(3)代入,消去    得到

 

其中

 

是缩减的刚度矩阵表达式。同理,结构的动能

 

写成分块形式

 

(3)代入,消去    得到

 

其中

 

是缩减的质量矩阵表达式。

这样一来,特征值问题的求解规模大大减小,即

 

然后可以恢复所舍弃部分的特征向量

 

[算例] 如图所示的悬臂梁,采用2个单元得到的刚度矩阵和质量矩阵为

 
 

采用GUYAN缩减法,忽略旋转自由度,    和    是平动自由度,    和    是旋转自由度,保留    和    

 
 
 
 
 
 

   得到缩减刚度矩阵和缩减质量矩阵

 
 


       往期相关

Lanczos算法求自振频率

子空间迭代法求结构自振频率

来源:数值分析与有限元编程
振动
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首次发布时间:2024-04-03
最近编辑:7月前
太白金星
本科 慢慢来
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