平面四节点单元(Q4)的误差分析

求解大型问题时，其动力自由度可达数万，为求解增加了难度。在结构的某些自由度方向上，惯性力为零或很小，因此可以忽略不计。这些方向上的运动方程退化为静态方程，并用于消除相应的位移。这在使用有限元模拟结构时很常见。由于集中假设，集中质量的转动惯量为零，因此相应的惯性量也为零。因此，旋转自由度虽然是精确近似结构刚度所必需的，但对动态响应的贡献可以忽略不计。对于自由振动方程 记 同样，将惯性力写成动力自由度分量的形式：记 其中 表示要保留的自由度集 合, 表示舍弃的自由度集 合。 表示的含义一样。综上，自由振动方程可写成分块形式： 令 的 ,可得 结构的应变能为 写成分块形式 将(3)代入，消去 得到 其中 是缩减的刚度矩阵表达式。同理，结构的动能 写成分块形式 将(3)代入，消去 得到 其中 是缩减的质量矩阵表达式。这样一来，特征值问题的求解规模大大减小，即 然后可以恢复所舍弃部分的特征向量 [算例] 如图所示的悬臂梁，采用2个单元得到的刚度矩阵和质量矩阵为 采用GUYAN缩减法，忽略旋转自由度， 和 是平动自由度， 和 是旋转自由度，保留 和 。 得到缩减刚度矩阵和缩减质量矩阵 ★★★★★★★★★★★★★★★ 往期相关★★★★★★★★★★★★★★★Lanczos算法求自振频率子空间迭代法求结构自振频率来源：数值分析与有限元编程