深入理解虚位移原理

能量原理为有限元方法提供了强有力的工具。在各种能量原理中，虚位移原理应用最为广泛。不仅适用于线弹性，也适用于非线性。

虚位移原理

虚位移原理是任意无限小的位移，在结构内部必须是连续的，而且在结构边界上必须满足运动边界条件。对于简支梁来说，两端的必须为0.

如图1所示的结构，受外力    作用，记

在这些外力作用下，结构应力为

现假设结构发生了虚变形，沿着外力作用方向产生的虚位移记为    ，记

虚应变

假设外力始终保持不变，外力在虚位移上所做的虚功

虚应变能为

虚位移原理表明，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么发生虚位移之后，外力虚功等于物体的虚应变能，即

证明过程

以平面问题为例，如图2所示，单位厚度的平板，边界可以分为两部分，在    上，位移等于0，在    上，作用边界力    且满足

平板内部应力    应满足平衡方程

假设因外荷载作用产生了虚位移    ,相应的虚应变为

虚应变能

由于

所以    右端第一项为

对    右端其余两项作类似的变换后，再带入得

由平衡方程可知，    右端第一个积分等于0 ，因此，虚应变能    的表达式为

由格林公式

式中，    为边界的法向量的方向余弦。因此，虚应变能    可表示为

根据边界条件，在边界    上，虚位移    ,在边界    上，

于是有

   右端表示作用于边界的外力    在虚位移上所做的虚功，即

值得注意的是，在上述推导过程中，并没有涉及材料的应力-应变关系，因此，虚位移原理不但适用于线弹性问题，也适用于非线性问题。