虚功原理推导三角形常应变单元的平衡方程

能量原理为有限元方法提供了强有力的工具。在各种能量原理中，虚位移原理应用最为广泛。不仅适用于线弹性，也适用于非线性。虚位移原理虚位移原理是任意无限小的位移，在结构内部必须是连续的，而且在结构边界上必须满足运动边界条件。对于简支梁来说，两端的必须为0.如图1所示的结构，受外力 作用，记 在这些外力作用下，结构应力为 现假设结构发生了虚变形，沿着外力作用方向产生的虚位移记为 ，记 虚应变 假设外力始终保持不变，外力在虚位移上所做的虚功 虚应变能为 虚位移原理表明，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么发生虚位移之后，外力虚功等于物体的虚应变能，即 证明过程以平面问题为例，如图2所示，单位厚度的平板，边界可以分为两部分，在 上，位移等于0，在 上，作用边界力 且满足 平板内部应力 应满足平衡方程 假设因外荷载作用产生了虚位移 ,相应的虚应变为 虚应变能 由于 所以 右端第一项为 对 右端其余两项作类似的变换后，再带入得 由平衡方程可知， 右端第一个积分等于0 ，因此，虚应变能 的表达式为 由格林公式 式中， 为边界的法向量的方向余弦。因此，虚应变能 可表示为 根据边界条件，在边界 上，虚位移 ,在边界 上， 于是有 右端表示作用于边界的外力 在虚位移上所做的虚功，即 值得注意的是，在上述推导过程中，并没有涉及材料的应力-应变关系，因此，虚位移原理不但适用于线弹性问题，也适用于非线性问题。来源：数值分析与有限元编程