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功的互等定理

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1 定理证明

如果变形体满足线弹性小变形的假设条件,那么,变形体上处于状态1时所有的外力,在状态2相应的位移方向上所做的虚功之和,等于状态2时所有的外力,在状态1相应的位移方向上所做的虚功之和。这就是功的互等定理,用公式表示就是    

其证明方法有多种,铁木辛柯的《材料力学》有证明方法。这里构造一种简单易懂的方法来证明之。考虑同一结构的两个简单状态1和2,如图1所示

▲图1

状态1中荷载P1在位置1与位置2分别产生了两个位移    和    ,状态2中荷载P2在位置2与位置1分别产生了两个位移    和    .假定状态1和状态2彼此独立,令状态1中全部外力在状态2中相应位移方向做功,则有

 

再令状态2中全部外力在状态1中相应位移方向做功,则有

 

记    为状态1的弯矩,    为状态2的弯矩.由变形体的虚功原理,有

 
 

比较两式,有    值得注意的是,不止是功的互等定理,位移互等定理,反力互等定理也由变形体的虚功原理衍生而来。

2 应用

例1

图2所示,已知抗弯刚度EI为常数,A端发生向下的支座位移Δ,求由此引起梁中点C的竖向位移。

▲图2

首先,构造两个状态。

▲图3

▲图4

由图3可知,状态1没有外力,故

 
 

由此可得

 

例2

图5所示,已知梁跨度为L,抗弯刚度EI为常数,A端发生顺时针的转动    ,B端发生向下的支座位移Δ.求由此引起梁中点C的竖向位移.

▲图5


首先,构造两个状态。

▲图6

▲图7

由图可知,状态1没有外力,故

 
 

由此可得

 


来源:数值分析与有限元编程
材料
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首次发布时间:2024-04-03
最近编辑:7月前
太白金星
本科 慢慢来
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