功的互等定理

太白金星

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1 定理证明

如果变形体满足线弹性小变形的假设条件，那么，变形体上处于状态1时所有的外力，在状态2相应的位移方向上所做的虚功之和，等于状态2时所有的外力，在状态1相应的位移方向上所做的虚功之和。这就是功的互等定理，用公式表示就是

其证明方法有多种，铁木辛柯的《材料力学》有证明方法。这里构造一种简单易懂的方法来证明之。考虑同一结构的两个简单状态1和2，如图1所示

▲图1

状态1中荷载P1在位置1与位置2分别产生了两个位移和，状态2中荷载P2在位置2与位置1分别产生了两个位移和 .假定状态1和状态2彼此独立，令状态1中全部外力在状态2中相应位移方向做功，则有

再令状态2中全部外力在状态1中相应位移方向做功，则有

记为状态1的弯矩，为状态2的弯矩.由变形体的虚功原理，有

比较两式，有值得注意的是，不止是功的互等定理，位移互等定理，反力互等定理也由变形体的虚功原理衍生而来。

2 应用

例1

图2所示，已知抗弯刚度EI为常数，A端发生向下的支座位移Δ，求由此引起梁中点C的竖向位移。

▲图2

首先，构造两个状态。

▲图3

▲图4

由图3可知，状态1没有外力，故

由此可得

例2

图5所示，已知梁跨度为L，抗弯刚度EI为常数，A端发生顺时针的转动，B端发生向下的支座位移Δ.求由此引起梁中点C的竖向位移.

▲图5

首先，构造两个状态。

▲图6

▲图7

由图可知，状态1没有外力，故

由此可得

来源：数值分析与有限元编程

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在线编译器方便，省去了本地编译器的安装配置环节，开箱即用。下面介绍几个Rust的在线编译器。1 Rust playgroundhttps://play.rust-lang.org/这是官方维护的站点。操作简单，对于入门来说，已经够用了。▲Rust playground的界面2 Rust Explorerhttps://www.rustexplorer.com/b相对于Rust playground，这个站点可以引入第三方包，如图所示▲开头引入第三方包▲右侧的终端模拟器输出信息3 replit https://replit.com/ 这个站点需要注册账号，但是功能更强大，相当于在线的IDE。支持很多的语言，比如Rust，C++，Python等等。▲点击create创建项目▲支持多种语言▲和vscode的界面很像▲右侧的终端模拟器输出信息体验一遍后，感觉还是不错的 (1) 一个加强版的github，replit做的功能，github后续都可以实现。 (2) 核心的在线编辑功能很强大，基本能想到的功能都有，编辑，版本控制，开发环境，debug，包管理等等。 (3) 相当于安装了vscode+git+nodejs（开发环境）+im+论坛。 (4) 多人实时编辑代码，虚拟开发环境等亮点还是很有吸引力的。硬要说几个缺点的话，首先，编辑过程没有本地流程，特别对于程序员+机械键盘来说，反应跟不上手速；其次，依赖网络，大部分功能依赖网络，如果网络不好，比较麻烦。来源：数值分析与有限元编程