用力学概念解超静定问题

太白金星

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用力学概念解超静定问题。

由于实际工程的复杂性，设计者常常只能通过计算机来完成计算。这个过程涉及很多因素，除了原理、方法、软件、荷载外，还有设计者自己的某些主观因素，难免会导致计算结果的错误。而检验这些错误的工具，只能是工程师自己，运用概念来判断，是一个必要环节。

如图1所示，一直径为的门型折杆，三边长度均为，两端固定支撑，在段中点作用竖向荷载 ,已知 ,求点竖向位移。

▲图1

本题属于超静定范围。将、截面断开，受力分析如图2所示，

▲图2

设分别为杆受竖向荷载作用产生弯曲变形后截面和截面的转角，分别为和杆受扭转后截面和截面的扭转角，则根据材料力学中的基本公式可得

由变形协调关系或者可得

这里并不是所熟悉的 ,这是因为BC两端的约束并不是刚性的。事实上，随着的跨度进一步增大，会越来越小，最终变为0.

点竖向位移由以下几部分组成：

a). 在自由端作用产生的竖向位移

b). 在跨中作用时产生的竖向位移

b). 在支座处作用时产生的竖向位移。这里由互等定理求

如图所示，由互等定理得

其中

所以

有关互等定理点击这里:

功的互等定理

来源：数值分析与有限元编程

功的互等定理

1 定理证明如果变形体满足线弹性小变形的假设条件，那么，变形体上处于状态1时所有的外力，在状态2相应的位移方向上所做的虚功之和，等于状态2时所有的外力，在状态1相应的位移方向上所做的虚功之和。这就是功的互等定理，用公式表示就是其证明方法有多种，铁木辛柯的《材料力学》有证明方法。这里构造一种简单易懂的方法来证明之。考虑同一结构的两个简单状态1和2，如图1所示▲图1状态1中荷载P1在位置1与位置2分别产生了两个位移和，状态2中荷载P2在位置2与位置1分别产生了两个位移和 .假定状态1和状态2彼此独立，令状态1中全部外力在状态2中相应位移方向做功，则有再令状态2中全部外力在状态1中相应位移方向做功，则有记为状态1的弯矩，为状态2的弯矩.由变形体的虚功原理，有比较两式，有值得注意的是，不止是功的互等定理，位移互等定理，反力互等定理也由变形体的虚功原理衍生而来。2 应用例1图2所示，已知抗弯刚度EI为常数，A端发生向下的支座位移Δ，求由此引起梁中点C的竖向位移。▲图2首先，构造两个状态。▲图3▲图4由图3可知，状态1没有外力，故由此可得例2图5所示，已知梁跨度为L，抗弯刚度EI为常数，A端发生顺时针的转动，B端发生向下的支座位移Δ.求由此引起梁中点C的竖向位移.▲图5首先，构造两个状态。▲图6▲图7由图可知，状态1没有外力，故由此可得来源：数值分析与有限元编程