用力学概念解超静定问题

1 定理证明如果变形体满足线弹性小变形的假设条件，那么，变形体上处于状态1时所有的外力，在状态2相应的位移方向上所做的虚功之和，等于状态2时所有的外力，在状态1相应的位移方向上所做的虚功之和。这就是功的互等定理，用公式表示就是 其证明方法有多种，铁木辛柯的《材料力学》有证明方法。这里构造一种简单易懂的方法来证明之。考虑同一结构的两个简单状态1和2，如图1所示▲图1状态1中荷载P1在位置1与位置2分别产生了两个位移 和 ，状态2中荷载P2在位置2与位置1分别产生了两个位移 和 .假定状态1和状态2彼此独立，令状态1中全部外力在状态2中相应位移方向做功，则有 再令状态2中全部外力在状态1中相应位移方向做功，则有 记 为状态1的弯矩， 为状态2的弯矩.由变形体的虚功原理，有 比较两式，有 值得注意的是，不止是功的互等定理，位移互等定理，反力互等定理也由变形体的虚功原理衍生而来。2 应用例1图2所示，已知抗弯刚度EI为常数，A端发生向下的支座位移Δ，求由此引起梁中点C的竖向位移。▲图2首先，构造两个状态。▲图3▲图4由图3可知，状态1没有外力，故 由此可得 例2图5所示，已知梁跨度为L，抗弯刚度EI为常数，A端发生顺时针的转动 ，B端发生向下的支座位移Δ.求由此引起梁中点C的竖向位移.▲图5首先，构造两个状态。▲图6▲图7由图可知，状态1没有外力，故 由此可得 来源：数值分析与有限元编程