数学建模|饺子最多能包多少馅?

数学建模|饺子最多能包多少馅?

饺子是深受中国人民喜爱的传统特色食品，又称水饺，是中国民间的主食和地方小吃，也是年节食品。有一句民谣叫“大寒小寒，吃饺子过年。”饺子多用面皮包馅水煮而成。

饺子包法，以月牙形和花边饺子为例，右手推着不动，左手推褶。中间对折捏上，把饺子架在虎口上，向中间挤。而花边饺子是饺子皮对折，并将边缘轻轻捏紧，左边边开始，用拇指和食指指腹轻轻地捏一下，用拇指和食指将捏好的饺子边折上去，并轻轻地捏一下，依次这样捏。

如图1所示，假定擀面杖的直径为8cm,饺子皮为半径为r的圆形。我们的问题是如何弯曲饺子皮，以最大限度地容纳馅。

图1

首先将饺子皮折叠在擀面杖周围，设    表示从饺子皮中心到直径上的点    的距离。如图2所示的坐标系，擀面杖的圆周的方程为    ,点    处的截面高度为    。包馅的区域(图中阴影部分)截面积

图2

注意到    接近于边缘    ，非常小，而当    接近中心    时，会超过180度。

令

通过数值方法求得当    时，    有最大值