Mohr-Coulomb类型的岩石强度准则综述

本文摘要：（由ai生成）

本文介绍了三种岩土材料强度准则：Mohr-Coulomb、Mogi-Coulomb和修正Lade。Mohr-Coulomb准则简单易用，适用于岩土工程安全预测；Mogi-Coulomb则精确度高，但数值计算中可能遇收敛问题；修正Lade则考虑全面，但不适用于岩石和粘性土。各准则各具特色，选择适合的是准确评估岩土材料强度的关键。在实际应用中，需根据具体情况选择合适的准则，并结合实验数据进行验证和优化，以确保评估的准确性。

Mohr-Coulomb强度准则

Coulomb在1773年提出当岩石内部任意平面的剪应力超过岩石的内聚力和破坏面上的内摩擦力时，岩石就会发生屈服和破坏。在1900年，Mohr用图形的方式系统阐述了这种强度判据，之后该准则被称为Mohr-Coulomb准则。由于该准则概念明确，形式简单，预测结果能保证岩土工程的安全性，而被广泛接受。该准则认为岩石的强度由第三主应力、岩石内聚力和内摩擦角决定，

                                                                           （4-1）

式中，c_o为内聚力，MPa；为内摩擦角，rad。

（a）主应力空间屈服曲面                  （b）π平面屈服曲线

图4-1  MC准则在主应力空间和π平面的极限分布特征

Mohr-Coulomb准则在主应力空间屈服曲面如图4-21（a）所示，呈六面锥体，子午线随静水压力的增加，呈线性变化；Mohr-Coulomb准则在某固定静水压力下，π平面的屈服曲线如图4-21（b）所示，屈服曲线为六边形，存在6个拐点，且在不同静水压力时，该平面上屈服曲线形状保持不变。

Mogi-Coulomb强度准则

Mogi花费了数十年的时间研究岩石强度的中间主应力效应，测试得到了多种类型岩石的真三轴压缩强度，观测真三轴岩石破坏结构特征发现，破坏面往往出现在第二主应力方向。因此Mogi提出一个假设，破坏面上的正应力与第二主应力无关，而破坏面上作为摩擦力的畸变应变能与八面体剪应力τoct成正比。基于这一假设及大量高质量的真三轴岩石强度试验数据，Al-Ajmi和Zimmerman在2005年发现一个线性关系，可以很好的拟合八面体剪应力τ_oct与正应力σ_m,2空间的真三轴试验数据点，建立了著名的Mogi-Coulomb准则，

                                                                                 （4-2）

      （4-3）

在三轴压缩应力状态（σ1>σ2=σ3）和三轴拉伸应力状态（σ1=σ2>σ3）,线性Mogi-Coulomb准则退化为经典的Mohr-Coulomb准则，将三轴压缩应力状态代入Mogi-Coulomb准则中得到，

                                                               （4-4）

对比上式与Mohr-Coulomb准则，可求得Mogi-Coulomb准则中的系数a和b，

                                                           （4-5）

（a）主应力空间屈服曲面                  （b）π平面屈服曲线

图4-2  Mogi-Coulomb准则在主应力空间和π平面的极限分布特征

Mogi-Coulomb准则在主应力屈服曲面和π平面屈服曲线分布特征如图4-22所示，由于该准则在三轴拉伸和三轴压缩应力状态退化为Mohr-Coulomb准则，所以MGC准则三轴拉伸及压缩子午线与MC准则重合。该准则反映了中间主应力对岩石强度的影响，对三轴强度实验数据具有很高的拟合精度，但如图4-22（b）所示，π平面屈服曲线存在六个奇异点，在三轴拉伸和三轴压缩应力状态，屈服线是内凹的，在数值计算的应用中存在收敛过慢或不收敛的现象。

修正Lade准则

基于大量砂类土的真三轴试验资料，Lade在1977年提出了无粘性土的强度模型，称为Lade准则，该准则考虑了所有主应力或应力不变量对屈服和破坏的作用，屈服曲面光滑且没有棱角，反映了静水压力对屈服的影响及高应力环境下屈服曲线与静水压力的非线性关系，并且能够区分三轴拉、压强度。侯公羽等（2018年）认为该准则用于代替岩土力学广泛应用的MC准则是很有意义的工作，但目前这方面的研究尚未少见。但该准则未考虑粘聚力的作用，不适用于预测岩石和粘性土的强度特征。为使Lade准则更加适用于具有抗拉强度和高黏聚力的岩土类材料，Ewy在1999年在Lade准则中引入了反映黏聚力对岩石屈服和破坏作用的系数S，建立了修正的Lade准则，

                                                            （4-6）

                                    （4-7）

修正Lade准则中的材料参数（S和η）与内聚力和内摩擦角的的关系如下式所示，

                                          （4-8）

（a）主应力空间屈服曲面                  （b）π平面屈服曲线

图4-3  修正Lade准则在主应力空间和π平面的极限分布特征

修正Lade准则在主应力空间屈服曲面如图4-23（a）所示，为曲面锥体，子午线随静水压力的增加呈线性变化；某特定静水压力下，π平面屈服曲线如图4-23（b）所示，该准则屈服曲线符合Drucker公设，在π平面为光滑且外凸曲线，关系式简单，方便应用于数值计算，同时，在三轴压缩应力状态，修正Lade准则与MC准则相接，但在三轴拉伸应力状态，修正Lade准则预测结果高于MC准则，因此该准则对真三轴强度实验数据的拟合精度尚待验证。

修正Wiebols-Cook准则

在1968年，Wiebols和Cook通过对滑动裂纹的细观力学分析得出，当封闭微裂纹上的剪切应变能达到极限水平时，岩石就会发生屈服和破坏，基于该理论，Wiebols和Cook提出了考虑中间主应力的Wiebols-Cook准则。之后在1994年，Zhou提出了一个非线性强度准则，该准则是对外接Drucker-Prager准则的扩展，由于Zhou建立的强度准则与Wiebols-Cook准则相似，被称为修正的Wiebols-Cook（MWC）准则，

                             （4-9）

式中，J₁为平均有效围压，J₂为第二应力偏量不变量，系数A，B和C可表示为，

                                            （4-10）

上式中，q、C₀和C₁与内聚力和内摩擦角的关系如下式所示，

                                                   （4-11）

（a）主应力空间屈服曲面                  （b）π平面屈服曲线

图4-4  MWC则在主应力空间和π平面的极限分布特征

修正Wiebols-Cook准则在主应力空间屈服曲面和π平面屈服曲线如图4-24所示，该准则的极限分布特征与修正Lade准则类似，关系式较修正Lade准则复杂，但屈服曲线同样同时满足光滑和外凸特征，对真三轴强度实验数据拟合精度有待验证。

MC准则的三维近似准则

依据4.1节定义，使用π平面变量，将使用主应力表示的Mohr-Coulomb准则转换为式4-17的形式，

                                       （4-12）

式中，为MC准则在π平面上Lode角形状函数，Lee等（2012）采用Jiang和Pietruszczak（2012）提出的Lode角形状函数代替，建立了新的强度准则MCJP准则，Lode角形状函数如式4-18所示，

                                         （4-13）

式中，θ为Lode角，与主应力的关系如式4-2所示，k为三轴拉伸强度与三轴压缩强度的比值，如式4-19所示，

                                               （4-14）

研究表明当k趋近于0.5时，Jiang和Pietruszczak提出的Lode角形状函数在π平面形状变为曲边三角形，当k趋近于1时，该函数在π平面形状变为圆形，当f趋近于1时，该函数在π平面为光滑且外凸曲线。Lee等人设定f取0.999，Lode角形状函数在比值0.56≤k≤1或内摩擦角在0°≤≤57.8°范围内，均能保证光滑且外凸特征，自然状态下大多数岩石的强度参数位于该变化范围内。

（a）主应力空间屈服曲面                  （b）π平面屈服曲线

图4-5  MCJP在主应力空间和π平面的极限分布特征

MCJP准则在主应力空间的屈服曲面及在π平面的屈服曲线如图4-25所示，屈服曲面为曲边三角形锥体，三轴压缩与三轴拉伸子午线均与MC准则相接，且满足光滑和外凸的特征，不足之处在于MCJP准则子午线随静水压力的增加呈线性特征，不能反映岩石在高围压下的非线性特征。