摩尔-库伦公式

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摩尔-库伦准则是描述岩石剪切强度的经典公式，由库伦于1776年提出，考虑了岩石的凝聚力和内摩擦角。摩尔圆图示法用于确定材料强度状态和破坏条件。在极限平衡状态下，岩石破坏面与最大主应力作用面间的夹角为45°+φ/2。该准则适用于岩石和土壤强度分析，但对复杂材料和应力状态适用性有限，需结合实验数据和数值模拟进行综合分析。

摩尔-库伦公式是岩石力学中描述岩石剪切强度的经典公式。该公式表示了岩石的剪切强度与岩石的正应力状态之间的关系。

1776年法国科学家库伦（C.A.Coulomb）总结土的破坏现象和影响因素，提出土的破坏公式为：

根据砂土试验结果得到:

τf=σn* tan(φ)

对于粘性土，可给出更为普遍的表达式：

τf= c +σn * tan(φ)

摩尔（Mohr）继续库伦的早期研究工作，提出材料的破坏是剪切破坏的理论，认为在破裂面上，法向应力与抗剪强度之间存在着函数关系，即：

τf=f(σ)

其中，τ表示岩石的剪切强度，c表示岩石的凝聚力（cohesive strength）（即在正应力为零时的剪切强度），σn 表示岩石正应力的法向分量，φ表示岩石的内摩擦角（angle of internal friction）。内聚力代表了材料颗粒之间的吸引力或粘结力，它使得材料具有一定的内聚性。内聚力越大，材料越难破坏。内摩擦角代表了材料颗粒之间的摩擦阻力，它决定了材料在受到切应力时的抵抗能力。内摩擦角越大，材料越能抵御切应力，具有更高的强度。

摩尔-库伦准则的图示可以用一个正应力-切应力的图形来表示，这个图形被称为莫尔圆。在二维平面上，莫尔圆由一条直线和一个围绕该直线旋转的圆所组成。直线代表了法向应力的变化，圆代表了切应力的变化。通过绘制莫尔圆，可以确定材料的强度状态和破坏条件。

当应力状态达到摩尔-库伦屈服准则的破坏条件时，材料将发生破坏。根据该准则，破坏发生的判据如下：

1.当切应力达到极限强度时，即 τ = c + σn * tan(φ)，材料将开始发生破坏。

2.在莫尔圆上，当切应力达到最大值时，即位于莫尔圆的最右侧点，材料将发生全面破坏。

理论介绍

当岩石中任一平面上的某点剪应力等于岩石的抗剪强度时，该点即处于濒于破坏的临界状态，此临界状态即称为"极限平衡状态”。该状态下各种应力之间的关系称为"极限平衡条件”。

由“应力分布”可求得在自重和竖向附加应力作用下任一点M的应力状态σ1和σ3 [图2(a)]。为简单起见，以平面应变课题为例，研究该点是否产生破坏。如图2(b)所示，该点单元体两个相互垂直的面上分别作用着最大主应力σ1和最小主应力σ3。若忽略其自身重力，则根据静力平衡条件，可求得任一截面m-n上的法向应力σ和剪应力τ为

由材料力学应力状态分析可知，以上σ，τ与σ1,σ3的关系也可用摩尔-应力圆表示[图2(c)]。其圆各点的坐标即表示该点在相应平面上的法向应力和剪应力。

为判别M点岩石是否被破坏，可将该点的摩尔-应力圆与岩石的抗剪强度包线 绘在同一坐标图上并作相对位置比较。如图3所下，它们之间的关系存在以下三种情况：

(1)M点摩尔-应力图整体 位于抗剪强度包线的下方(圆1)，摩尔-应力圆与抗剪强度线相离，表明该点在任何平面上的剪应力均小于抗剪强度，表明该点未被剪破。

(2)M点摩尔-应力圆与抗剪强度包线相切(圆2)，说明在切点所代表的平面上，剪应力恰好等于抗剪强度，该点就处于极限平衡状态，此时摩尔-应力圆亦称极限应力圆，由图中切点的位置还可确定M点破坏面的方向。连接切点与摩尔-应力圆圆心，连线与横坐标之间的夹角为2αf，根据莫尔圆原理，可知土体中M点的破坏面与最大主应力α1作用面方向夹角为αf[图4(a)]。

(3)M点摩尔-应力圆与抗剪强度包线相割(圆3)，则M点早已破坏，应力已超出弹性范畴，圆3所代表的应力状态是不可能存在的。

处于极限平衡状态时，从图4(a)中莫尔圆与抗剪σ3强度包线的几何关系可推得极限平衡条件为

根据图4中几何关系，可得破坏面与最大主应力作用面间的夹角αf为：

αf=1/2（90°+φ）=45°+φ/2

在极限平衡状态时，由图2(a)中看出：通过M点将产生一对破裂面，它们均与最大主应力作用面成夹角，相应地在摩尔-应力圆上横坐标上下对称地有两个破裂面a-a和a'-a'[图4(b)]，而这一对破裂面之间在最大主应力作用方向的夹角为90°-φ。

适用范围

摩尔-库伦准则是一种经验性准则，广泛应用于岩土工程中对土壤和岩石等固体材料的强度和破坏行为的描述。它适用的范围主要包括以下几个情况：

1. 岩石和土壤的强度分析：摩尔-库伦准则可以用于分析土壤和岩石等天然材料在受到应力加载时的强度特性。它可以评估土体岩石的稳定性，例如在土质边坡的分析和设计中应用较为广泛。

2. 岩土工程中的地基和基础设计：摩尔-库伦准则可应用于地基和基础设计中，以评估土壤和岩石的承载能力和稳定性。例如，在浅基础设计中，可以使用摩尔-库伦准则来确定地基的安全承载力。

3. 地下工程：摩尔-库伦准则也适用于地下工程，如隧道、坑道、挖掘和地下结构的设计。它可以用来预测岩石和土壤的强度和稳定性，评估地下工程的施工风险。

需要注意的是，摩尔-库伦准则是一种经验性的准则，它的适用范围有一定的局限性。对于复杂的材料和应力状态，以及一些特殊情况（如非线性行为、时效效应等），摩尔-库伦准则可能不适用或只能提供初步估计。因此，在实际的岩土工程设计和分析中，应综合考虑其他因素，并结合实验数据和数值模拟等进行综合分析和判断，以获得更准确和可靠的结果。