弧度制的由来——为什么要引入弧度制？

本文摘要：（由ai生成）

本文介绍了角度制和弧度制的概念及其相互转换关系。角度制描述两条射线交叉或一条射线绕一点旋转形成的角，而弧度制用弧长除以半径表示角度，是一种无单位的比值。弧度制的引入统一了角度和实数的表达方式，方便了三角函数图像的研究。例如，180度对应π弧度，60度对应π/3弧度。弧度制促进了数学的发展，使得角度可以直接在实数轴上表示。

30度角是π/6，45度角是π/4，60度角是π/3——这看起来多少有点离谱，角度怎么会等于实数了呢？

别急，怎么慢慢道来。首先从扩展角度的定义开始：  

一、任意角  

九年制义务教育告诉了我们什么是平角、锐角、和钝角，知道了最大的角是360度；也知道了一些特殊角的正弦、余弦、正切值，比如30度、45度、60度，还有90度，还被迫强行记忆了这么一个对应值的表：

你还别说，这个表还真好用，可以对付大部分的数学计算了。  

可是新的问题来了：  

角度是两条直线交叉形成的，还是因为一条射线绕一个点旋转形成的？如果是一条射线旋转的话，哪儿才算起始点？  

大于180度的角叫什么？如何表示？  

如果大于360度呢？  

或者一个人围着一棵树转了4圈半，这个角度该怎么称呼？  

从坐标轴x轴开始，顺时针旋转30度和逆时针旋转30度，两个角是一样的吗？  

趴在坐标轴上的角叫什么？  

为了回答这些问题，高中数学引入了任意角的概念：  

任意角包括正角、负角、零角。  

如果一条射线围绕其端点按照逆时针方向旋转，形成的角称为正角；    

按照顺时针方向形成的角称为负角；    

如果一条射线根本没做任何旋转，它形成的角称为零角。    

如果我们把所有射线开始旋转的起点都放在同一个位置，比如规定射线都从直角坐标系的非负半轴开始旋转，让射线端点与原点重合，那我们可以很方便的记录那些转过好多圈的角度，比如《短歌行》中说，“绕树三匝，何枝可依？”就可以记录为3*360度，转了四圈又多出30度的话，就可以记录为4*360+30度。  

如果两条射线旋转之后终边落在相同的位置，我们就称这两个角称为终边相同的角。  

比如说一个是30度，另外一个是3*360+30度，这两个角就称为终边相同的角。  

二、弧度制的引入：  

现在我们再来看另外一个问题：  

假如我住在一个小岛上，一天早上我发现，在小岛的正南方大约1000米的地方有一艘船正绕着小岛行驶，半个小时以后，船行驶到小岛正南偏东30度的位置上，又半个小时，行驶到南偏东45度的位置。我如果想记录这艘船移动的位置，我只需要在笔记本上画一张图，说这艘离岛1000米的船半小时移动了30度，一个小时移动了45度。  

也就是下面这张图：  

但船老大对自己的运动该怎么记录呢？他一直在行驶，对他来说，最简单的办法就是记录自己的行驶里程，他可以这样记录：从正南方锚地G点起锚，半小时逆时针沿着圆弧移动了大约0.523千米，到达B’点；半小时后，又移动了大约0.261千米，到达B点。  

现在问题来了：我从我的视角，记录的船南偏东30度、45度，和船老大从他自己的视角，记录的行驶里程多少千米应该是等价的才对吧？可现在并不等价，这个问题该怎么解决？  

二者之间肯定存在一个换算的关系。  

可是，一个是角度，一个是距离；  

一个是鸡，一个是鸭，它们能有什么换算关系呢？  

好，我们现在假设这艘船一直在距离小岛一千米的圆上转圈，如果它从正南转到正北的时候，实际上就走了半径为一千米的圆的半个周长。  

半径是一千米，整个圆的周长就是2π千米，半个圆周就是一个1π千米；  

如果和角度结合起来，那就是在半径为一千米的圆周上，船行驶了1π千米的圆弧，就等于船围绕小岛转了180度；我们尝试建立这样一个等价关系：  

半径一千米时：1π千米弧长等价于180度。  

它现在行驶的圆弧的弧长是0.523千米，别忘了π大约是3.14, 0.523千米大约是1π千米的六分之一，也就是π/6，它应该是和30度等价的。  

我们现在似乎有点明白了二者之间到底是什么关系了。  

但是，我们还是有点疑问，如果另一艘船在距离小岛两千米，或者任意位置的话，上面的等价关系是否成立呢？  

比如距离小岛2千米，船绕小岛转半圈的话，它行驶的距离是2π千米，按照我们刚才的推理，它也应该和我们常说的180度等价。也就是：  

半径为2000米时，2π千米等价于180度。  

当我们如果这两行红色字体的结论放在一块的话，我们不难发现：  

假如把上面的几种情况都代入上述的关系式：  

我们通过这种类比的方法，似乎发现了表示角度的另一种方法：  

用弧长除以半径也是可以表示角度的。  

弧长除以半径，就称为弧度。  

它是一个比值。  

数学上最讨厌单位，它喜欢清纯的数字，也就是说  

那上面的计算公式又可以改写成：  

通过上述两个关系式，可以很轻松地把1弧度等于多少度算出来：  

因为弧度是个比值，所以，我们正常使用中它是没有单位的，但你也可以在它后面加上弧度两个字，你高兴就好，数学上也不反对。  

好，现在回到本文开头的那几个问题，弧度和角度之间可不就是这种对应关系嘛：  

30度   π/6

45度：π/4

60度：π/3

90度：π/2

这就是用弧度表征旋转角度的由来。  

它实际上是从不同的观察点，来描述旋转角度而已：  

角度制是从原点的视角看待物体的移动；  

弧度是从运动者的视角出发，表征自己移动的距离和原点的关系。  

采用弧度来描述旋转角度的一整套规范，简称“弧度制”。  

弧度制的引入促进了数学的发展。

比如它很好的解决了角度这个单位在实数轴上的量度：原来1度、30度等，无法在实数轴上表现，我们没办法找到它的位置，但现在好了，弧度制的引入统一了角度和实数的表达方式，把用了几千年的角度直接统一到实数轴上：  

180度的位置可以落在π这个位置，60度可以落在π/3这个位置，这就大大方便了三角函数图像的研究。  

多说两句：π是数学界三大无理数之一，也是我们最早熟悉的无理数（另外两个是自然常数e和黄金分割的φ），很多著名的数学、物理公式都会用到这个π，我们现在在弧度值的表达上跟π相遇，应该是最为简单、自然、流畅的。